Wie kann Unbestimmtheit in der Quantenmechanik aus der Unfähigkeit, eine Ursache zu beobachten, abgeleitet werden?

Der Grund für diesen scheinbaren Sprung sind die Prinzipien des logischen Positivismus, der eigentlich die Gründungsphilosophie von Heisenberg, Bohr und allen Physikern ist. Dies besagt, dass, wenn eine Frage nicht einmal im Prinzip durch irgendeine Art von Experiment beantwortet werden kann, es keine gültige Frage ist, die Frage nur Kauderwelsch ist.

Betrachten Sie die folgende Frage:

• Wo befindet sich in einem Wasserstoffatom im Grundzustand das Elektron auf seiner Umlaufbahn?

Oberflächlich betrachtet scheint es vernünftig, nicht wahr?

Aber wie würden Sie ein Experiment formulieren, um die Antwort zu ermitteln? Jetzt ist es nicht so klar. Angenommen, Sie strahlen Licht auf das Elektron, um herauszufinden, wo es sich befindet, dann regen Sie das Atom an, es befindet sich nicht mehr in seinem Grundzustand. Angenommen, Sie strahlen Licht mit sehr niedriger Wellenlänge aus, um das Atom nicht anzuregen. Dann wird das Licht am Atom als Ganzes gestreut und ist für die Beantwortung der Frage nutzlos.

Wenn man versucht, das Elektron mit hartem Röntgenstrahl genau zu lokalisieren, ionisiert man das Atom. Diese Frage ist also nicht durch Experimente zu beantworten, und jetzt sieht es nicht so vernünftig aus. Es ist ein gültiger Akt des Positivismus zu behaupten, dass diese Frage tatsächlich bedeutungslos ist. Das Elektron hat keine Position, wenn sich das Atom im Grundzustand befindet.

Aber nehmen wir an, Sie ignorieren den Positivismus und nehmen an, dass das Elektron eine geheime Position hat, die zeitlich variiert, wie Bohr es oft tat. Sie könnten glauben, dass die Umlaufbahn periodisch ist, sodass die Fourier-Transformation der Umlaufbahn ganzzahlige Vielfache einer bestimmten Frequenz hat. Die beobachtete Frequenz des von einem sich bewegenden klassischen Objekt emittierten Lichts ist ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz, der inversen Umlaufzeit. Sie erwarten also, dass das vom Atom emittierte Licht ein Vielfaches der Umlaufzeit beträgt.

Aber die atomaren Übergänge haben Frequenzen, die keine ganzzahligen Vielfachen von irgendetwas sind. Sie können also nicht die Beschreibung einer klassischen periodischen Trajektorie sein. Aber sie entsprechen diesen periodischen Trajektorien, wenn die Quantenzahl groß ist, wenn das Elektron weit entfernt vom Proton kreist. So viel hat Bohr verstanden.

Aber für Pauli und Heisenberg, die radikaler positivistisch waren (anfänglich war Bohr später im Leben der Positivist von allen), führte die Schwierigkeit, ein wirksames Verfahren zu finden, dazu, dass sie die Frage vollständig aufgaben. Sie lehnten die Idee ab, dass das Elektron eine zu bestimmende Position habe. Heisenberg entwickelte dann eine detaillierte mathematische Theorie der Übergänge zwischen verschiedenen atomaren Ebenen, und diese Theorie konnte Fragen der Form "Wenn ich das Atom im Grundzustand beleuchte, welche spektralen Intensitäten kommen heraus?" Aber diese Theorie konnte die Frage "wo ist das Elektron" nicht beantworten, weil sie keine Elektronenpositionsvariable hatte, die eine scharfe klassische Umlaufbahn machte.

Die moderne Perspektive ist nur eine Ausarbeitung dieser Position. Die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Positionsmessungsexperiment eine gegebene Antwort findet, oder die Wahrscheinlichkeit, die Antwort auf eine Energiemessung zu erhalten. Es repräsentiert nicht die Position eines Elektrons oder einer anderen klassischen Größe.

Der Grund, warum Menschen glauben, dass es keine grundlegenden klassischen Größen gibt, die sich deterministisch entwickeln, liegt in der logisch positivistischen Position, dass sie sie nicht operativ definieren könnten. Der logische Positivismus geriet in den 1970er Jahren aus dummen Gründen in Ungnade, so dass er in humanistischen intellektuellen Kreisen keine prominente Position mehr verteidigt. Das ist sehr traurig für die meisten Physiker, die genauso positivistisch sind wie eh und je, insbesondere wenn man die Stringtheorie, die Holographie und die positivistische Lösung des Informationsverlust-Puzzles betrachtet.

Im QM gibt es keine Unbestimmtheit. Die Prinzipien sind:

• Die Staaten$|\psi\rangle$leben im Hilbertraum.
• Messungen werden durch hermitische Operatoren dargestellt$O$.
• QM gibt nur Antworten auf Fragen, die mit einer Eigenwertgleichung für einen hermiteschen Operator gestellt werden können. Wenn man hat$O|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$dann der Staat$|\psi\rangle$hat die Eigenschaft vertreten durch$O$mit scharfem Wert$\lambda$. Das ist alles, was QM uns sagt, und wir müssen alle unsere Fragen über die Welt in dieser knappen Sprache formulieren.

Diese Prinzipien sagen nichts über Unbestimmtheit oder Wahrscheinlichkeit oder Zusammenbruch aus. Die Born-Regel für Wahrscheinlichkeiten sieht wie folgt aus.

Betrachten Sie ein System mit Spin 1/2 in einem Zustand$|\psi\rangle=\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle$. Bauen Sie ein Ensemble auf$N$Kopien des Systems. Das Ensemble wird durch einen tensorierten Zustand mit beschrieben$N$Faktoren,

$$\begin{eqnarray*} |\Psi\rangle&=&(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)\otimes\ldots \otimes(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)\\ &=&\sum_{k=0}^{N}\alpha^{N-k}\beta^{k}(|+\ldots-\ldots\rangle+\ldots) \end{eqnarray*}$$ Die Halterung hat $^{N}C_{k}$Staaten jeweils mit $N-k$"+"-Etiketten und $k$"-"-Etiketten in verschiedenen Anordnungen. Diese symmetrische Kombination von $^{N}C_{k}$Staaten ist eine Drehung $s=N/2$Eigenzustand mit $J_{z}$Eigenwert $m=N/2-k$. Bei korrekter Normierung ist der tensorierte Zustand für das Ensemble $$\begin{eqnarray*} |\Psi\rangle=\sum_{k=0}^{N}\alpha^{N-k}\beta^{k} \sqrt{^{N}C_{k}}|s=N/2,m=N/2-k\rangle \ . \end{eqnarray*}$$ Stellen Sie nun einen hermiteschen Operator auf $\frac{N_{+}}{N}$das zählt den Bruchteil von $+$Zustände. Die Aktion des Operators ist, $$\begin{eqnarray*} \frac{N_{+}}{N}|s=N/2,m=N/2-k\rangle=\frac{N-k}{N}|s=N/2,m=N/2-k\rangle \end{eqnarray*}$$ Der Staat $|\Psi\rangle$ist kein Eigenzustand von $\frac{N_{+}}{N}$für endlich $N$QM kann also nichts Scharfes über den Anteil der "+"-Zustände im Ensemble sagen. Allerdings da $N\rightarrow\infty$die Amplituden spitzen scharf um einen einzelnen Spinzustand herum. Um den Wert von zu finden $k$bei dem die Amplitude ihren Höhepunkt erreicht, löst man $$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\partial}{\partial k}\frac{|\alpha|^{2(N-k)}|\beta|^{2k}N!}{(N-k)!k!} \end{eqnarray*}$$ und unter Verwendung der Näherung von Stirling die Lösung für $k$bei der Spitzenamplitude ist, $$\begin{equation} \frac{N-k}{k}=\frac{|\alpha|^{2}}{|\beta|^{2}} \end{equation}$$ Für ein unendliches Ensemble gilt also $$\lim_{N\rightarrow\infty}|\Psi\rangle=\alpha^{N-k}\beta^{k} \sqrt{^{N}C_{k}}|s=N/2,m=N/2-k\rangle$$ mit $k$durch die Peaklösung gegeben. Das unendliche Ensemble ist ein Eigenzustand des Operators $\frac{N_{+}}{N}$, $$\frac{N_{+}}{N}|\Psi\rangle=\frac{N-k}{N}|\Psi\rangle$$ und den Peak ersetzen $k$, der Eigenwert ist $(N-k)/N=|\alpha|^{2}$. Der tensorierte Zustand für das unendliche Ensemble ist also ein Eigenzustand des Operators $\frac{N_{+}}{N}$das zählt der Bruchteil der "+" Zustände und der Eigenwert ist $|\alpha|^{2}$. Das bedeutet, dass QM die Frage nach dem Anteil der "+"-Zustände im Ensemble scharf beantworten kann; es ist $|\alpha|^{2}$das ist genau dasselbe wie die Born-Regel für Wahrscheinlichkeiten. Diese Rechnung zeigt,

• QM hat nichts Wahrscheinlichkeitstheoretisches oder Indeterministisches.
• QM hat nichts über das einzelne System zu sagen$\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle$.
• QM sagt nur etwas Scharfes über ein unendliches Ensemble von Systemen aus.

Die Ableitung der Born-Regel in dieser Antwort wird in Vorlesung http://pirsa.org/10080035 skizziert .

Bearbeiten, um Bruce Greetham zu beantworten.

Bruce Greetham schlägt vor, dass ich durch die Streichung der Born-Regel als Axiom gezwungen bin, Everetts Position in vielen Welten einzunehmen.

Betrachten Sie ein Spin-1/2-System$|\psi\rangle=\alpha |+\rangle +\beta |-\rangle$. Stellen wir QM die scharfe Frage „Ist das System im + Zustand?“. Der hermitesche Operator, der diese Frage stellt, ist$\hat{O}(\text{'is it +?'})=|+\rangle\langle+|$Weil$\hat{O}(\text{'is it +?'})|+\rangle=|+\rangle$Und$\hat{O}(\text{'is it +?'})|-\rangle=0$. Das System$|\psi\rangle=\alpha |+\rangle +\beta |-\rangle$ist kein Eigenzustand von$\hat{O}(\text{'is it +?'})$So$|\psi\rangle$ist nicht in der$|+\rangle$Zustand.

Stellen Sie nun die scharfe Frage "Ist das System im +-Zustand oder im --Zustand?". Der Operator, der diese Frage stellt, ist$\hat{O}(\text{'is it +?'})+\hat{O}(\text{'is it -?'})=|+\rangle\langle+|+|-\rangle\langle -|$. Dieser Operator ist der Identitätsoperator$1$und der Staat$|\psi\rangle$ist ein Eigenzustand dieses Operators mit Eigenwert 1. Mit anderen Worten, QM sagt das$|\psi\rangle$ist + oder -, was, muss ich zugeben, darauf hindeutet, dass sich die Welt verzweigt hat. Dies ist eine intellektuell unbequeme Position, und ich versuche meistens, nicht darüber nachzudenken und mich darauf zu konzentrieren, mehr über Gruppenrepräsentationen und QFT zu verstehen.

Wie kann dies zeigen, dass sich die Teilchen, während Sie sie nicht beobachten, indeterministisch verhalten, und das ist ein Merkmal der Natur?

Was bringt Sie dazu, diese Frage so zu formulieren?

Wenn Sie die vollständige Ausgangskonfiguration sowie den Hamiltonoperator (Energieoperator) des Systems kennen, können Sie gemäß der Quantenmechanik die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen. In diesem Sinne ist es möglich , es zu wissen. Es ist im Prinzip möglich, die sich ausbreitende Wellenfunktion für spätere Zeiten zu berechnen und zu kennen, und daher kann man für jede Zeit einen Erwartungswert vorhersagen, nicht mehr oder weniger. Zu einem späteren Zeitpunkt entscheiden wir uns vielleicht für eine Messung. Und die Tatsache, dass die gemessenen Wahrscheinlichkeiten dem entsprechen, was diese Theorie (diejenige, die um diese Wellenfunktion herum aufgebaut ist) nahe legt, dass wir etwas vorhaben.

Der Zweck der Wellenfunktion besteht jedoch darin, „nur“ das Werkzeug zu sein, um vorherzusagen, was passiert, wenn tatsächlich eine Interaktion mit dem System stattfindet. Der Hintergrund Ihrer Frage ist also ontologischer/erkenntnistheoretischer Natur. Was bedeutet es, etwas zu wissen, das jenseits der Messbarkeit liegt? Vielleicht verwandelt sich die Wellenfunktion während ihrer ungestörten Ausbreitung alle drei Sekunden in einen rosa Tee trinkenden Elefanten, meldet sich unter jemandes Benutzerkonto bei StackExchange Physics an und beantwortet Fragen zur Quantenmechanik und verwandelt sich dann wieder in eine Wellenfunktion, als ob nichts passiert wäre. Das ist jedoch keine sehr nützliche Theorie.

Die Frage hat zwei unterschiedliche Aspekte:

• Können wir zumindest im Prinzip das Ergebnis eines Experiments vorhersagen?
• Ist die Natur tatsächlich indeterministisch?

Die erste Frage ist eine physikalische: Wir können sie mit Experimenten beantworten. Das mag überraschen, weil Experimente immer mit experimentellen Fehlern einhergehen, aber der Punkt ist, dass Experimente sowieso nie etwas wirklich beweisen, sondern eine Theorie stützen oder ablehnen. Und alle Experimente unterstützen die Quantenmechanik, wo wir nicht einmal im Prinzip sagen können, welches Ergebnis wir bekommen werden. Beachten Sie, dass dies sogar für jene Interpretationen der Quantenmechanik gilt, die grundsätzlich deterministisch sind (wie die Mechanik von Bohm), weil wir nicht einmal im Prinzip auf den vollständigen Zustand zugreifen können (deshalb werden solche Theorien "Theorien mit verborgenen Variablen" genannt, weil Es gibt einige Aspekte des Zustands, auf die wir nicht zugreifen können, das heißt, sie sind "versteckt".

Der zweite ist größtenteils ein philosophischer. Für einen Positivisten sagt Ihnen die Tatsache, dass Sie das Ergebnis experimentell nicht vorhersagen können, bereits, dass die Natur indeterministisch ist. Positivismus ist jedoch eine philosophische Position, die nicht experimentell bewiesen werden kann (d.h. sie ist kein Teil der Physik; das bedeutet natürlich nicht, dass ein Physiker kein Positivist sein kann, aber es bedeutet, dass ein Physiker, der den Positivismus vertritt, außerhalb seines Fachgebiets agiert ― Beachten Sie jedoch, dass es eine feine Linie gibt zwischen dem, was man "praktischen Positivismus" nennen könnte, der sich weigert, etwas darüber zu sagen, was wir nicht messen können, weil es außerhalb des Kontexts der Physik läge, und echtem Positivismus, der behauptet, dass es nichts außer dem gibt, was wir sind beobachten kann).

Für einen Realisten ist die Standard-Quantenmechanik nicht zufriedenstellend, weil entweder man davon ausgeht, dass die Wellenfunktion real ist, aber dann wäre der Zusammenbruch der Wellenfunktion auch real, aber dies würde den Beobachtungen und damit dem Bewusstsein einen besonderen Status verleihen, der den meisten entspricht die Leute glauben heutzutage nicht mehr (und die Leute, die es tun, sind normalerweise eher in den esoterischen als in den wissenschaftlichen Bereichen tätig). Deshalb suchen Realisten nach Erklärungen, die auf die eine oder andere Weise über die Standard-Quantenmechanik hinausgehen. Allerdings gibt es dabei ein Problem: Lokalität. Es kann (experimentell!) gezeigt werden, dass die Quantenmechanik nicht lokal ist (zumindest unter der „Eine-Welt“-Annahme, ein Grund, warum die Viele-Welten-Interpretation bei manchen Menschen beliebt ist), aber Nicht-Lokalität steht im Widerspruch zur Relativitätstheorie, denn letztere leugnet eine absolute Gleichzeitigkeit. Zusamenfassend,

Nun zum Thema Determinismus: Im Lager der Realisten gibt es sowohl deterministische als auch indeterministische Interpretationen der Quantenmechanik. Die Deterministen können in ihrer Erklärung dafür, warum wir Indeterminismus beobachten, in zwei Kategorien eingeteilt werden:

• Versteckte Variablen: Hier ist der Indeterminismus ein klassischer Mangel an Wissen (kombiniert mit der Unfähigkeit, das Wissen auch nur im Prinzip zu erlangen). Dies geht jedoch auf Kosten der physikalischen Nichtlokalität (dh echte physikalische Wechselwirkungen, die unendlich schnell über beliebige Entfernungen ablaufen).
• Everettianische Interpretationen (Variationen von Many Worlds): Hier ist der Indeterminismus ein Ergebnis der „Teilung von Welten“, in der wir nur „unsere“ Welt beobachten. Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar, da alle möglichen Ergebnisse auftreten, aber jedes Ergebnis kommt mit einer anderen Kopie von „Sie“, die genau dieses Ergebnis beobachtet.

Wenn Sie weder physikalische Nichtlokalität noch viele Welten akzeptieren, müssen Sie den fundamentalen Indeterminismus akzeptieren.