Wie bestimmt man die Bogenlänge einer Ellipse?

Lassen$a=3.05,\ b=2.23.$Dann ist eine parametrische Gleichung für die Ellipse$x=a\cos t,\ y=b \sin t.$Wenn$t=0$der punkt ist bei$(a,0)=(3.05,0)$, der Anfangspunkt des Bogens auf der Ellipse, deren Länge Sie suchen. Jetzt ist es wichtig zu erkennen, dass der Parameter$t$ist nicht der zentrale Winkel, also müssen Sie den Wert von erhalten$t$was dem oberen Ende Ihres Bogens entspricht. An diesem Ende haben Sie$y/x=\tan 50$(Grad). Und in Bezug auf$t$du hast$y/x=(b/a)\tan t$. Auflösen für$t$dann gibt

[Anmerkung: Ich würde vorschlagen, hier das Bogenmaß zu verwenden und die zu ersetzen$50$von$5\pi/18.$]

Verwenden Sie für die Bogenlänge die allgemeine Integrationsformel$\sqrt{x'^2+y'^2}$für$t$im gewünschten Bereich. In Ihrem Fall$x'=-a \sin t,\ y'=b \cos t$, damit Sie sich integrieren

* Als ich dies numerisch auf Ahorn tat, kam ich zurecht$2.531419$für die Bogenlänge.

Sie können dies berechnen als

mit dem unvollständigen elliptischen Integral zweiter Art $E(\varphi\,|\,m)$. In Mathematica-Syntax (und für Wolfram Alpha geeignet ) kann dies geschrieben werden als

2.23*EllipticE[ArcTan[3.05/2.23*Tan[50°]],1-(3.05/2.23)^2]

Ich habe dies aus diesem Beitrag übernommen , der das umgekehrte Problem untersucht (bei gegebener Bogenlänge, Winkel finden), aber nebenbei auch diese Richtung des Problems behandelt. Wie dort angemerkt, funktioniert diese Winkelumwandlung nur für den ersten und letzten Quadranten. Passen Sie andernfalls entweder den Winkel an oder suchen Sie in diesem Beitrag nach einer alternativen Formel, die Sie stattdessen verwenden können.

Mit ein paar Stellen mehr Genauigkeit wird die Antwort als zurückgegeben$2.5314195265536624417$was im Wesentlichen mit den beiden anderen Antworten hier übereinstimmt. Natürlich ist das Drucken von so vielen Ziffern in der Antwort sehr schlechter Stil, wenn die Eingabe nur mit zwei Dezimalstellen erfolgt. Es zeigt zwar, dass die numerische Integration von Jyrki etwas ungenauer ist als die von coffeemath, aber selbst er hätte theoretisch in die andere Richtung runden sollen.

Beachten Sie, dass die obige Formel nur für funktioniert$-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2$. Für$\frac\pi2<\theta<\pi$das Ergebnis von$\tan^{-1}$wird vertreten$\theta-\pi$Um das zu korrigieren, können Sie hinzufügen$\pi$zu diesem Ergebnis. Ähnlich für$-\pi<\theta<-\frac\pi2$wo du abziehen musst$\pi$von dem$\tan^{-1}$Ergebnis. Im Allgemeinen möchten Sie die erste Eingabe für die$E$Funktion als Winkel im selben Quadranten wie$\theta$, ganzzahlige Vielfache von addieren$\pi$wie nötig.

Eine Mathematica-Rechnung geben. Gleiches Ergebnis wie coffeemath (+1)

In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t,0,1.02051}]
Out[4]= 2.53143

Ich glaube, diese asymptotische Näherung aus Jacobis elliptischem Integral zweiter Art vor einiger Zeit gefunden zu haben. Es ist nicht präzise, ​​konvergiert aber genau für degenerierte Fälle von$b=0$(Linien) und$b=a$(Kreise). Die Endlosreihen-Methoden sind ideal, wenn Präzision erwünscht ist. Ich biete dies nur als Kuriosum an. Der zuletzt hinzugefügte Term trägt wenig bei, sorgt aber für Konvergenz für Kreise. Annehmen$0\le b\le a$. Dann