Pseudoskalare Wirkung in der klassischen Feldtheorie

Elektromagnetismus ist paritätssymmetrisch. Denn alle anderen Begriffe in der Aktion - wie z$mv^2-V(x)$für Teilchen - parity-even sind, muss auch der elektromagnetische Beitrag parity-even sein. Andernfalls würden sich die verschiedenen Terme unterschiedlich transformieren und die kombinierte Theorie würde die Parität verletzen. "Parity-even" bedeutet einfach, dass die Lagrange-Dichte ein Skalar ist, kein Pseudoskalar. Das ist gleich.

Die Aktionen sind invariant unter

$$(x,y,z)\to(-x,-y,-z),$$ einschließlich des Zeichens ( $S\to +S$), ist einfach das, was wir unter Paritätssymmetrie verstehen, und Skalare (im Gegensatz zu Pseudoskalaren) sind die Objekte, die auch bei dieser Operation ihre Vorzeichen bewahren.

$E\cdot B$ist ein Term, der Bewegungsgleichungen nicht beeinflusst, da es sich um eine totale Ableitung handelt (die zu einer Konstanten integriert wird, unbeeinflusst von Variationen der Felder, solange die Variationen der Felder bei$t=\pm \infty$verschwinden):

$$E\cdot B \sim \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} \sim \partial^\alpha( \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} A^\beta F^{\gamma\delta})$$ Sie sehen, dass es sich um eine totale Ableitung handelt; das $\partial^\alpha F^{\gamma\delta}$Vertragslaufzeit mit der $\epsilon$Symbol verschwindet identisch, weil es die Bianchi-Identität ist (in der Formensprache $d^2 A\equiv 0$).

In nicht-Abelschen Theorien hingegen Begriffe des Typs

$${\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ ändern die Physik, obwohl sie totale Ableitungen sind. Das liegt daran, dass sie zu einem nichttrivialen Integral in der euklidischen Raumzeit integriert werden, wo die Konfiguration des Eichfelds topologisch nichttrivial ist – ein Instanton.

In ihrer Pfad-Integral-Formulierung nach Feynman berechnet die Quantenmechanik die Übergangsamplituden als Summe über die normalen Geschichten sowie die Instantonen, und die additiven Verschiebungen in Instantonen sind wichtig. Da die obige Instanton-Aktion ganzzahlig ist, ist - nach einer geeigneten Normalisierung - der Koeffizient$\theta$davor ist modulo definiert$2\pi$- als Winkel - weil eine Änderung der Aktion$S$durch$2\pi i$spielt keine Rolle, da das Pfadintegral nur davon abhängt$\exp(iS)$. Zum Beispiel in QCD der Begriff

$$\theta{\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ Bekanntlich beeinflusst die Physik aber experimentell den Koeffizienten $\theta$ist kleiner als $10^{-9}$was überraschend und unnatürlich ist: Wir würden erwarten $\theta$in Ordnung sein. Das $\theta$-Term oben, wenn nicht Null, ist auch P- (pseudoskalar) und CP-ungerade, und es würde zu neuen Quellen von CP-Verletzung führen, die nicht beobachtet wird (die einzige CP-Verletzung, die beobachtet wurde, stammt aus der Phase der CKM-Matrix, die Quarkmassen mischt).

Diese Kleinheit der$\theta$-Winkel, der anscheinend nicht erklärt und nicht einmal für das Leben benötigt wird (da hilft auch das anthropische Prinzip nicht), wird das starke CP-Problem genannt. Der Hauptkandidat erklärt, warum das beobachtet wird$\theta$klein ist, obwohl es nicht sein muss, ist der Peccei-Quinn-Mechanismus, der die Axionen verwendet.$\theta$wird in gewisser Weise zu einem leichten Skalarfeld befördert ...

In den letzten Jahren hat sich herausgestellt, dass eine Klasse von Materialien, die als topologische Isolatoren bezeichnet werden, durch eine Aktion beschrieben werden kann, in der der Begriff$E\cdot B$hinzugefügt.

Die Aktion ist

$$S_{top} = S_{em} + \frac{\theta}{2\pi}\frac{e^2}{\hbar c·2\pi} \int d^3xdt\, E·B.$$

Für gewöhnliche Isolatoren haben wir$\theta=0$während wir für topologische Isolatoren haben$\theta=\pi$.

Seit der$E·B$Term eine totale Ableitung ist, bleiben die Maxwellschen Gleichungen innerhalb und außerhalb des Isolators unverändert. Aber der Punkt ist der$\theta$hat einen Gradienten an der Oberfläche, und dort passiert etwas Interessantes. Ein äußeres elektrisches Feld kann nämlich Oberflächenströme induzieren und umgekehrt.

Man könnte meinen, dass die Aktion unter Zeitumkehr nicht invariant ist, weil wir dann abbilden müssten$\theta\to-\theta$. Aber bei periodischen Randbedingungen stellt sich heraus, dass der Wert$\theta$ist nur modulo wohldefiniert$2\pi$. Also beides$\theta=0$und$\theta=\pi=2\pi-\pi$Sind möglich. Beachten Sie, dass Sie die Quantenmechanik benötigen, um das zu verstehen$\theta$kann nur bis definiert werden$2\pi$, das kann man nicht klassisch sehen.