(−1)2j(−1)2j(-1)^{2j} im Spin-Statistik-Theorem - Weinberg/Novozhilov/etc

Ich sehe nicht, wie wir bevorzugt multiplizieren können$(-1)^{2j}$zum$e^{-ip(x-y)}$Begriff allein

Denn das ist der Ursprung des Spin-Statistik-Theorems.
Es kommt von der Anforderung an die Theorie, kausal zu sein .
Und der Begriff, der in diesem Fall ein Problem verursachen würde, ist der raumartige Begriff$x-y$.

Damit eine Theorie kausal ist, kann die zeitliche Reihenfolge physikalischer Ereignisse, die die Evolution des Systems beeinflussen, nicht umgekehrt werden. Dies ist besonders problematisch für raumähnliche Trennungen, wo ein Lorentz-Boost die chronologische Reihenfolge umkehren kann$t_{\mathrm{final}} - t_{\mathrm{initial}} < 0$. Damit die Kausalität gilt, müssen zwei beliebige raumartig getrennte Operatoren pendeln:

$$\begin{equation} [\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)] = 0 \quad \text{if} \quad (x-y)^2 < 0, \quad g_{\mu \nu} = (+,-,-,-), \end{equation}$$ um sicherzustellen, dass ihre zeitliche Reihenfolge irrelevant ist und keine körperlichen Folgen hat.

Weil Betreiber$\mathcal{O}(x)$sind in der Regel nur ein Produkt von$\prod_i \psi_i(x)$, erfordern$[\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)]=0$ist dasselbe wie verlangen$\left [ \psi_A(x), \psi_B(y)\right ] = 0$.

Der spezielle Fall für die raumartige Konfiguration wird auf Seite 11 diskutiert. 237 Weinbergs:

Für$x-y$raumartig, können wir einen Lorentz-Rahmen annehmen, in dem$x^0=y^0$, und schreibe Gl. (5.7.19) als [...]. Damit soll diese wann verschwinden$\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$Wir müssen haben ...

und dann kommt Weinberg zum Punkt$2j \in \mathbb{N}$.

Seit ungefähr vier Monaten hat es also keine Entwicklung gegeben, und ich glaube, dass ich die Antwort habe, nach der ich gesucht habe. Nur für den Fall, dass jemand anderes auf das Problem stößt, das ich gemacht habe, werde ich riskieren, meine eigene Antwort zu posten.

Das Hauptproblem ist das der$(-1)^{2j}$Begriff aus der Lorentz-Kovarianzalgebra. Dabei verlasse ich mich auf Weinbergs "Feynman Rules for Any Spin", Phys Rev 1964 B1318 1964 , Streater und Wightmans "PCT, Spin, Statistics, and All That", Princeton University Press, 1980, Seiten 14-16, und Novozhilovs "Introduction to Elementary Particle Field Theory" Pergamon Press, 1975 Seiten 75-77.

Beginnend mit Weinberg wollen wir unsere Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und damit unsere Felder Lorentz-kovariant konstruieren. Er tut dies, indem er die Operatoren Transformationen in der richtigen homogenen orthochronen Lorentz-Gruppe gehorchen lässt.

$$x^\mu\rightarrow \Lambda^\mu_{\space\space\nu}x^\nu = g_{\lambda\rho}$$ $$g_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\space\space\nu}\Lambda^\nu_{\space\space\rho} \tag{Weinberg (W) 2.1}$$ $$det\Lambda=1; \Lambda^0_{\space\space 0}>0$$

In Einstein-Summennotation.

Für jede Verwandlung$\Lambda$der Gruppeneigenschaft entspricht ein unitärer Operator, der auf den Hilbert-Raum wirkt

$$U[\Lambda_2]U[\Lambda_1]=U[\Lambda_2\Lambda_1] \tag{W 2.3}$$

Als nächstes beschreiben wir die Wirkung dieser$U[\Lambda]$auf einem Teilchen$|\textbf{p},\sigma\big>$Zustände. Wir definieren diese Zustände zunächst als Ergebnis eines Boosts ($\Lambda = L(\textbf{p})$die ein ruhendes Teilchen der Masse m in Impuls umwandelt$\textbf{p}$) im Ruhezustand$|\sigma\big>$

$$|\textbf{p},\sigma\big> = [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \tag{W 2.6}$$

Dies ermöglicht uns zu sehen, wie sich diese Zustände unter einer Willkür umwandeln sollten$\Lambda$

$$\begin{align*} U[\Lambda]|\textbf{p},\sigma\big> &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[\Lambda]U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\Lambda\textbf{p})]U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}U[L(\Lambda\textbf{p})]|\sigma'\big>\times \big<\sigma'|U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}|\Lambda\textbf{p},\sigma'\big>\times D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})] \end{align*} \tag{W 2.8}$$

$L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})$ist eigentlich die reine Drehung$R$, auch als "Wigner-Rotation" bekannt, und so weiter$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]$sind hier die$2j+1$dimensionale unitäre Matrixdarstellungen der Rotationsgruppe.

Um nun die Lorentz-Kovarianz der Felder zu bestätigen, sagen wir, dass sich ihre Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie oben transformieren:

$$U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.11}$$

Und mit dem Adjunkt:

$$U[\Lambda]a(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]a(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.12}$$

Es ist zwingend erforderlich, dass wir deren Formen aufeinander abstimmen, da die Lösung meines Problems in der Manipulation dieser Matrixkoeffizienten liegt$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L(\textbf{p})]$und ihre Kreuzprodukte im eventuellen (Anti-)Kommutator. Daher müssen wir die folgenden Änderungen vornehmen, indem wir Folgendes verwenden:

$$\begin{align*} &D^{(j)}[R]^*=CD^{(j)}[R]C^{-1} \\ &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \end{align*} \tag{W 2.13,2.15}$$

Wir verwandeln$W 2.11$hinein

$$\begin{align*} &U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda] \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{CD^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma') \end{align*}\tag{W 2.16}$$

Jetzt$b^*(\textbf{p},\sigma)$verwandelt sich als$a^*(\textbf{p},\sigma)$, damit wir verwenden können$W 2.16$für den Antiteilchen-Erzeugungsoperator und$W 2.12$für$a(\textbf{p},\sigma)$, der Teilchenvernichtungsoperator.

Als nächstes bildet Weinberg unsere$(j,0)$Darstellung aus den Standardsummen von Lorentz$K$Und$J$Operatoren, was uns zu der folgenden nützlichen Identität führt:

$$D^{(j)}[\Lambda]=\bar{D}^{(j)}[\Lambda^{-1}]^\dagger \tag{W 2.38}$$

Als nächstes verwenden wir die Gruppeneigenschaft$\{W 2.3\}$der Lorentz-Gruppe, um die in unseren Formeln auftretenden Wigner-Rotationen in drei Teile aufzuspalten

$$D^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})] = D^{(j)-1}[L(\textbf{p})]D^{(j)}[\Lambda^{-1}]D^{(j)}[L(\Lambda\textbf{p})]$$

Erlauben uns, unsere früheren Transformationsgesetze zu schreiben$\{W 2.12\}$Und$\{W 2.16\}$als:

$$\begin{align*} &U[\Lambda]\alpha(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\alpha(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &U[\Lambda]\beta(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\beta(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &\alpha(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma') \\ &\beta(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma') \end{align*}$$

Nur noch ein Weinberg-Schritt übrig. Wir drücken unser Feld als Fourier-Transformation auf der Summe von lorentzinvarianten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aus$\alpha$Und$\beta$, und ersetzen Sie dann wieder durch$a$Und$b^*$:

$$\psi_{\sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\frac{d^3\textbf{p}}{[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}}\sum_{\sigma'}\left[\xi D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma')e^{ip\cdot x}+\eta\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma')e^{-ip\cdot x}\right]$$

Der (Anti-)Kommutator, den wir wollen:$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm$, gibt jetzt nur solche Begriffe zurück wie:$D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger$für den Teilchenfall „a“ und Begriffe wie:$\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'}$für den Antiteilchenfall "b".

Zurückkehren zu$\{W 2.15\}$, wir haben:

$$\begin{align*} &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=\{C^{-1}CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=D^{(j)}[R^{-1}]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Wir können jetzt Terme aus dem Antiteilchenfall wie folgt gruppieren:

$$\begin{align*} &\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C^{-1\dagger}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\{C^{-1}D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})^{-1}]^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$ Wo der letzte Schritt die Bewerbung war$\{W 2.38\}$. Dies gibt uns nun für den (Anti-)Kommutator eine Form wie:

$$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\left[|\xi|^2 D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{ip\cdot (x-y)}+|\eta|^2D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right]$$

Wir wenden uns nun Novozhilov zu, der in seiner Nomenklatur angibt:

$$D^J(\frac{p}{m})=e^{\frac{\beta(\textbf{J}\cdot\textbf{p})}{|\textbf{p}|}}, \theta^i=\beta\frac{p^i}{|\textbf{p}|} \tag{Novozhilov 4.80}$$ Das ist die gleiche Form wie in$\{W 2.39, 2.40\}$, Wo

$$\begin{align*} &D^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{-\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.39} \\ &\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{+\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.40} \end{align*}$$

Dies impliziert, dass wir anhand der Gruppeneigenschaft Folgendes ausführen können:

$$D^{(j)}[L(\textbf{p})]\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]\equiv D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{-p}{m})=D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(-1)$$

Lassen Sie uns mit

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2{D}^{(j)}[-1]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Novozhilov sagt das direkt$D[-1]=(-1)^{2j}$ $\{page 77, in text\}$, aber hört kurz auf, warum. An dieser Stelle wende ich mich an Streater und Wightman. In ihrem Buch PCT, Spin and Statistics, and All that $(2000)$, Seite 15, stellen sie eine Form für diese Matrizen auf$D^{(j)}$:

„Betrachten Sie eine Reihe von Mengen$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_j}$, bei dem die$\alpha$'s und$\dot{\beta}$nehmen die Werte 1 und 2 und an$\xi$ist symmetrisch unter Permutationen der$\alpha$'s und auch unter Permutationen der$\dot{\beta}$'S. Für jede$A\in SL(2,C)$wir definieren eine lineare Transformation der$\xi$ist laut

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}A_{\alpha_1\rho_1}...A_{\alpha_j\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1\dot{\sigma}_1}...\bar{A}_{\dot{\beta}_k\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$ [Der Punkt über dem Index bedeutet einfach, dass sich dieser Index entsprechend transformiert$\bar{A}$anstatt$A$; das Symbol ($\rho$) steht für$\rho_1...\rho_j$; das Symbol ($\dot{\sigma}$) für$\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k$] Diese Darstellung von SL(2,C) wird normalerweise bezeichnet$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},\frac{k}{2})}$. Jede irreduzible Darstellung ist äquivalent zu einer von diesen."

Von hier aus betrachten wir den Fall mit$A\longrightarrow(-1)$Und$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(A)\equiv D^{\frac{j}{2}}(A)$, dann können wir sehen, dass sich diese Transformation auf eine Multiplikation mit der inversen Einheitsmatrix reduziert$\textbf{-1}$j mal.

Wir bekommen$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}-1_1\times...-1_j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$oder

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}(-1)^j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$

An diesem Punkt gibt es einen Unterschied in der Notation, wobei Streater und Wightman verwendet werden$\frac{j_{integer}}{2}$ihre Darstellungen zu kennzeichnen, und Weinberg und Novozhilov verwenden$j$entweder ganze oder halbe ganze Zahl. Da diese also funktional gleichwertig sind$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(-1)_{Streater}\equiv D^{j}(-1)_{Weinberg}\equiv (-1)^{2j}$.

Und das führt uns schließlich zum Ergebnis:

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2(-1)^{2j}_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Was uns direkt zu der Schlussfolgerung führt, dass dies immer der Fall ist:$|\xi|^2=(-1)\pm|\eta|^2(-1)^{2j}=\mp|\eta|^2(-1)^{2j}$, das Spin-Statistik-Theorem.