Was geht schief, wenn man versucht, ein Skalarfeld mit der Fermi-Statistik zu quantisieren?

Ich werde zunächst auf einige offensichtliche Missverständnisse in der Frage hinweisen und anschließend erklären, was schief geht, wenn eine Theorie ganzzahliger Spinfelder oder Teilchen mit Antikommutatoren quantisiert wird und umgekehrt.

Erstens, wenn wir ein reelles Klein-Gordon-Feld unter Verwendung von Antikommutatoren quantisieren, verschwindet der Hamilton-Operator (oder ist eine feldunabhängige Konstante). Auf der Ebene der Felder ist der Hamilton-Operator für dieses Feld eine Summe von Quadraten$H=\sum_i A_i^2 (x)$(eins$A_i$ist zum Beispiel$\nabla\phi$). Seit$\{A_i(x),A_i(y)\}=0$($\{\phi(x),\phi(y)\}=0$),$A_i^2=0$für jeden$i$, und deshalb$H=0$. Auf der Ebene der Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren$H\sim \int_p\,a_p^{\dagger}a_p+a_pa_p^{\dagger}\sim\int_p\,\{a_p,a^{\dagger}_p\}$. Als$\{a_p,a^{\dagger}_q\}\sim\delta^3 (p-q)$, ist der Hamiltonoperator eine operatorunabhängige Konstante. Mal sehen, was passiert, wenn wir ein komplexes skalares Klein-Gordon-Feld betrachten, ein interessanterer Fall.

Komplexes Skalarfeld (Spin = 0), quantisiert mit Antikommutatoren

Hier versagt die Mikrokausalität. Betrachten Sie ein freies komplexes Skalarfeld und eine bilineare lokale Observable$\hat O(x)=\phi^{\dagger}(x)o(x)\phi(x)$, mit$o(x)$eine echte c-Zahl-Funktion. Dann sagt uns die Kausalität, dass der Kommutator zweier dieser Operatoren, die durch einen raumartigen Abstand getrennt sind, verschwinden soll. Das kann man überprüfen:

Und indem wir den Ausdruck eines komplexen, freien Klein-Gordon-Feldes in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verwenden, können wir den Antikommutator berechnen, indem wir die angenommenen kanonischen Antikommutierungsbeziehungen zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verwenden. Das Ergebnis ist (Sie sollten dies alles überprüfen)

Wo$d^3\tilde {\bf p}$ist eine Standardnotation für das Lorentz-invariante Maß. Unter Verwendung der Lorentz-Invarianz des vorherigen Ausdrucks und der Tatsache, dass er nicht verschwindet für$x_0=y_0$, können wir schließen, dass$\{\phi(x),\,\phi^{\dagger}(y) \}$und als Folge davon$[\hat O(x),\hat O(y)]$verschwinden nicht für raumartige Trennungen, was die Kausalität verletzt.

Daher weigern sich sowohl reelle als auch komplexe Skalarfelder, mit Antikommutatoren quantisiert zu werden.

Drehen$1/2$mit Kommutatoren quantisiertes Feld

Beginnend mit dem Dirac-Hamiltonian erhält man

Dann brauchen wir, um einen Vakuumzustand minimaler Energie zu haben, einen Hamilton-Operator, der von unten begrenzt ist. Der$b$-Modi haben im Hamiltonoperator ein negatives Vorzeichen, sodass es zwei Alternativen gibt:

• Austausch der Standardaktion des$b$Operatoren auf dem Hilbertraum. Das ist,$b^{\dagger}$wird Quanten vernichten und$b$wird sie erstellen, damit $$H|p\rangle_b\sim H\,b|0\rangle_b \sim [H,b]|0\rangle_b \sim \sqrt{m^2+p^2}|p\rangle_b$$ wo wir Gebrauch gemacht haben$[b,b^{\dagger}]\sim \delta^{3}$. Damit enden wir jedoch bei Zuständen negativer Norm $$_b\langle p|p'\rangle_b=\langle 0|b^{\dagger}_p\,b_{p'}|0\rangle=-2\,\left|{\sqrt{m^2+p^2}} \, \right|\,\delta^3(p-p')\, \langle 0|0\rangle \; ,$$ was eine probabilistische Interpretation verhindert (negative Wahrscheinlichkeiten sind unsinnig).
• Die Alternative besteht darin, Antikommutatoren (dh Fermi-Statistiken) zu verwenden, die das Vorzeichen im Hamilton-Operator umkehren. Das ist die Wahl, die funktioniert.

Diese Hindernisse sind eine Folge des Spin-Statistik-Verbindungssatzes von Pauli.