Abtasttheorem und Rekonstruktion

Wenn das Signal perfekt bandbegrenzt ist, können keine zusätzlichen Informationen daraus gewonnen werden, indem schneller als die doppelte Bandbreite abgetastet wird. Eine perfekte Rekonstruktion muss also möglich sein. Es ist, wie @DanMills sagte: Es gibt eine und nur eine Kurve, die durch die abgetasteten Punkte verläuft und korrekt ist, und das ist die Kurve, die Sie von einem perfekten Rekonstruktionsfilter erhalten würden.

(Beachten Sie, dass es noch seltsamer wird – zumindest theoretisch, wenn die Bandbreite stimmt$B$, dann brauchen Sie nicht zu probieren$x(t)$bei$2B$- Sie können probieren$x(t)$Und$\frac{d x(t)}{dt}$gleichzeitig bei$B$, oder zur dritten Ableitung abtasten (dh vier Abtastungen sammeln) bei$\frac{B}{2}$, oder begehen Sie verschiedene andere Verbrechen mit dem Signal, bevor Sie eins abtasten$N$breiter Vektor bei$\frac{2B}{N}$. Die meisten dieser Schemata (auf jeden Fall die von mir erwähnten Derivate) wären schrecklich unpraktisch, aber theoretisch funktionieren sie, und Sie stolpern gelegentlich über Schemata, die tatsächlich in der Realität verwendet werden.)

Sie können sich jedes perfekt bandbegrenzte Signal als Überlagerung einer Reihe von Signalen vorstellen$\frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t)$Kurven, deren Spitzen gleichmäßig entlang der Zeitachse positioniert sind. Ihr Abstand ist$\frac{2}{BW}$.

sinc(x) ist zufällig auch die Zeitbereichsantwort eines perfekten Tiefpassfilters und erklärt, wie die zeitkontinuierliche Rekonstruktion (Interpolation) aus einer Reihe diskreter Abtastwerte erreicht wird.

Wenn wir ein Signal gleichmäßig abtasten, ist jede Abtastung eine direkte Messung der Amplitude einer dieser sinc()-Wellen. Dies funktioniert, weil es eine Eigenschaft der sinc()-Funktion ist, dass sie an jedem Abtastpunkt null ist, außer an ihrer eigenen Spitze. Mit anderen Worten, wenn Sie eine Messung vornehmen, erhalten Sie keine "Interferenz" von irgendeiner der anderen sinc()-Funktionen. Daher enthält der Satz von N diskreten Messungen alle Informationen in dem zeitkontinuierlichen Signal, das durch diese Sammlung von sinc()-Wellen dargestellt wird.

Jetzt wird es noch seltsamer als das, worauf TimWestcott anspielte – die Samples müssen nicht einmal gleichmäßig zeitlich verteilt sein! Es stellt sich heraus, dass N beliebige innerhalb eines Zeitfensters (mit bestimmten Einschränkungen) eines perfekt bandbegrenzten Signals genommene eindeutige Abtastungen verwendet werden können, um dieses Signal zu rekonstruieren. Dafür braucht es aber viel mehr Mathematik!

Bei ungleichmäßiger Abtastung erhalten Sie keine saubere Messung mehr von nur einer der sinc()-Amplituden. Stattdessen erhalten Sie eine Mischung aus vielen, wenn nicht allen. Da Sie jedoch genau wissen, wo Sie sich auf jedem befinden (natürlich muss jeder Abtastwert mit einem Zeitstempel versehen sein), ist es möglich, das große System linearer Gleichungen zu lösen, um die tatsächlichen Amplituden zu finden und somit das ursprüngliche Signal zu rekonstruieren. Natürlich reagiert dieser Prozess sehr empfindlich auf kleine Störungen (z. B. Rauschen und mathematische Fehler), und ich winke mit der Hand einige Details zu Einschränkungen für den Satz von Samples ab, aber das allgemeine Prinzip gilt.

Hier gibt es bereits gute Antworten. Vielleicht hier eine sehr kurze, die nützlich sein könnte. Ich vermute Ihnen jetzt etwas über FFT, Spektrum oder zumindest Fourier-Zeilen.

Schau dir das zweite Bild an, das du gepostet hast. Welche Frequenzen treten in seiner Fourier-Zerlegung auf? Offensichtlich hat es viel höhere Frequenzen als die Kurve in Bild eins. Aber mit dem Abstand zwischen den Abtastpunkten (und damit der Abtastfrequenz) sind Sie auf etwas beschränkt, dessen höchste Frequenz niedriger als die Hälfte der Abtastfrequenz sein muss. Oder andersherum:

Die Punkte rekonstruieren etwas mit der geringsten Menge an Sinuskurven, die benötigt werden, um die Punkte zu treffen.

Eine Möglichkeit, ein Signal darzustellen, ist seine zeitliche Entwicklung (der Zeitbereich). Ein anderer äquivalenter Weg ist durch seine Frequenzkomponenten (der Frequenzbereich). Je "steiler" oder "schärfer" die Variation in einem Zeitbereichssignal ist, desto höher ist der Frequenzgehalt dieses Signals.

Das in Abbildung 1 gezeigte Signal kann ein Frequenzspektrum wie das folgende haben:

Es gibt eine maximale Frequenz fmax1, jenseits derer der Frequenzinhalt Null ist, was bedeutet, dass das Signal bandbegrenzt ist. Um das Signal fehlerfrei zu rekonstruieren, tasten Sie mit einer Mindestrate von fs1 = 2*fmax1 (der Nyquist-Rate) ab.

Das in Abbildung 2 gezeigte Signal hat einen höheren Frequenzgehalt, da Sie scharfe Variationen zwischen mehreren Samples platziert haben. Sein Frequenzspektrum kann wie folgt aussehen:

Die höchste Frequenzkomponente im Signal von Fig. 2 ( fmax2 ) ist größer als die höchste Frequenzkomponente im Signal von Fig. 1 ( fmax1 ). Das bedeutet, dass Sie mit einer höheren Rate abtasten müssen, um das Signal zu rekonstruieren, fs2 = 2*fmax2 > fs1 .

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie den Signalen so viele kleine Variationen hinzufügen können, wie Sie möchten, aber dabei führen Sie einen höheren Frequenzinhalt ein, und Sie müssen die Abtastrate gemäß dem Nyquist-Theorem erhöhen.

Sie können argumentieren, dass ein nicht bandbegrenztes Signal einen Frequenzinhalt hat, der sich bis ins Unendliche erstreckt, und für ein solches Signal können wir keine Mindestabtastrate für eine fehlerfreie Rekonstruktion definieren. In praktischen Situationen begrenzen wir Signale mit Antialiasing-Filtern, um sicherzustellen, dass der Frequenzinhalt über einer bestimmten Frequenz Null ist.