Adiabatische Volumenänderung eines idealen Gasgedankenprozesses

Ich kämpfe mit dem Versuch, das folgende Problem zu lösen, indem ich für diese Übung nur (a) und den ersten Teil von (b) versuche:

Bei einer reversiblen adiabatischen Volumenänderung eines idealen Gases$PV^{\gamma}$bleibt konstant, wo$\gamma$ist das Verhältnis der Wärmekapazität bei konstantem Volumen zu der bei konstantem Druck. dh$\gamma = C_P/C_V$. Ein Mol eines idealen Gases, zunächst bei$300^{\circ}K$und atmosphärischem Druck auf die Hälfte seines ursprünglichen Volumens komprimiert.

(a) Leiten Sie einen allgemeinen Ausdruck für die am Gas geleistete Arbeit in Bezug auf das Anfangs- und Endvolumen und andere notwendige Variablen her. Denken Sie daran, dass Sie einen Ausdruck für finden müssen$P$als Funktion von$V$, und dass dieser Ausdruck beinhaltet$P_1$Und$V_1$.

(b) Verwenden Sie Ihren Ausdruck, um die Arbeit zu berechnen, die für ein einatomiges ideales Gas und (b) ein zweiatomiges Gas verrichtet wird, in dem die Schwingungsbewegung vollständig eingefroren ist.

Hier ist mein anfänglicher Denkprozess:

• Dies ist ein adiabatischer Prozess, also$PV^{\gamma} = K$Wo$K$ist eine Konstante.
• Dieses Gas ist einatomig, also$\gamma = 1 + 2/3$.
• Uns wird kein Volumen, sondern Druck und Temperatur vorgegeben, wodurch sich das Volumen aus dem idealen Gasgesetz ableiten lässt.
• Dies ist eine adiabatische Volumenänderung, daher kann die Arbeit mit dem folgenden Integral gefunden werden:

$$W = - \int_{V_1}^{V_2} PdV$$

• Seit$V_2 = 1/2 V_1$, wir können das ersetzen für$V_2$, und beachten$P=\frac{K}{V^\gamma}$. Damit wollen wir lösen:

$$W = - K\int_{V_1}^{0.5V_1} \frac{dV}{V^\gamma}$$

Dies sollte sich auf die folgende Gleichung reduzieren:

$$W = -K \left(\frac{0.5V_1^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right)$$

Mit$V_1 = \frac{nRT}{P}$mit$P = 101325 \ Pa$,$T = 300 \ K$, Und$n = 1$Mol,$V = 0.0246 m^3$. Das macht$V_2 = 0.0123 m^3$.$K = PV^{\gamma}, \therefore K = 210.83$.

Nachdem ich dieses Durcheinander in einen Taschenrechner geworfen habe, ist mein endgültiger Wert$1869.405\ J$grob.

Einige Fragen von mir:

• Warum können wir nicht verwenden$P = \frac{nRT}{V}$als unsere Funktion von$V$für das Integral statt$P=\frac{K}{V^\gamma}$?

• Meine Antwort sollte nicht negativ sein, was daran liegen sollte$0.5 V_1 - V_1 = -0.5 V_1$, aber ich verstehe nicht, wie diese Logik falsch war. Was ist da das Problem?

• Habe ich hier etwas lächerlich falsch gemacht, und wenn ja, wo? Ich habe das Gefühl, etwas falsch gemacht zu haben.