Formel für die molare spezifische Wärmekapazität im polytropen Prozess

Dass$C$ist die spezifische Wärme für den gegebenen Zyklus, dh

$$dQ=nCdT$$ Das ist für$n$Mol Gas. (nicht die$n$Sie haben in Frage gestellt)

Ich werde annehmen

$$PV^z=\text{constant}$$

$$nCdT=dU+PdV$$ $$\int nCdT=\int nC_vdT+\int PdV$$

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\int \frac{PV^z}{V^z}dV$$

Da der Zähler eine Konstante ist, nehmen Sie ihn heraus!

Beachte das auch

$$P_iV_i^z=P_fV_f^z$$

$i = \text{initial}$

$f=\text{final}$

Fokussierung nur auf das Integral,

$$PV^z\int V^{-z}dV$$

$$PV^z\left[\frac{V^{-z+1}}{-z+1}\right]^{V_f}_{V_i}$$

Notiere dass der$PV^z$ist für den ersten und den letzten Schritt gleich. Also multiplizieren wir es im Inneren und machen diese geniale Arbeit:

$$-\frac{P_iV_i^zV_i^{-z+1}}{-z+1}+\frac{P_fV_f^zV_f^{-z+1}}{-z+1}$$

$$-\frac{P_iV_i}{-z+1}+\frac{P_fV_f}{-z+1}$$

Beachten Sie, dass$PV=nRT$

$$\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

wo$\Delta T=T_f-T_i$

Schlussgleichung:

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

$$C=C_v+\frac{R}{1-z}$$

Dies bringt Ihnen die ursprüngliche Gleichung, die Sie finden können$C_v$von

$$C_p/C_v=\gamma$$

$$C_p-C_v=R$$

Verwenden$C_p=\gamma C_v$,

$$C_v\left(\gamma-1\right)=R$$

$$C_v=\frac{R}{\gamma-1}$$

Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung,

$$C=\frac{R}{\gamma-1}+\frac{R}{1-z}$$

Vielleicht lohnt es sich, es aus der Differentialdefinition abzuleiten

$$dQ = PdV+ dU \tag{1}$$

Daran erinnernd$\frac{dQ}{ndT}=C$,

$$C= \frac{1}{n} ( P \frac{dV}{dT} + \frac{dU}{dT}) \tag{2}$$

Aus dem idealen Gasgesetz und der polytropen Gleichung können wir sagen

$$(PV^{\gamma} )V^{1- \gamma} = nRT \tag{3}$$

Berücksichtigen Sie Unterschiede, während Sie das bemerken$PV^{\gamma}$ist konstant:

$$PV^{\gamma} (1- \gamma) V^{-\gamma} dV = nRdT$$

Somit,

$$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P(1- \gamma) } \tag{4}$$

auch unter Hinweis darauf, dass für ein ideales Gas$dU= nC_v dT$und alles einstecken in (2):

$$C= \frac{R}{(1- \gamma)} + C_v$$

das ist der erforderliche Ausdruck

Wir können das Ergebnis auch ohne Integration herleiten:

$PV^n=constant$kann geschrieben werden als$TV^{n-1}=constant$

$$nCdT=dU+PdV$$ Teilen Sie diese Gleichung durchgehend durch$dT$, differenzieren$TV^{n-1} = constant$hinsichtlich Temperatur und Verstopfung${dV/dT}$in die Gleichung bringt das gewünschte Ergebnis.