Grundlegende Thermodynamik: Quasistatischer adiabatischer Prozess

Question

Grundlegende Thermodynamik: Quasistatischer adiabatischer Prozess

seb

Ich gehe die Übungen in einem Buch über Thermodynamik durch, nur um meine Intuition zu überarbeiten und aufzubauen. Im Moment arbeite ich an:

Zeigen Sie, dass für einen quasistatischen adiabatischen Prozess in einem perfekten Gas mit konstanter spezifischer Wärme gilt:

$P v^{γ} = [Konstante]$ $PV^\gamma = \left[\text{constant}\right]$

mit $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$

Wo $P$ ist Druck, $V$ ist Volumen, und $C_V$ ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

Ich suche nicht nach der Antwort, sondern nur nach einem Hinweis (ich stecke fest und möchte die Lösung selbst finden).

Also das sind meine Gedanken:

perfektes Gas bedeutet: $PV = RT$ , ( $R$ ist die universelle Gaskonstante)
Adiabat bedeutet: $\mathrm{d}Q = 0$ , ( $Q$ für Wärme)
Da kein Wärmeaustausch stattfindet, ist der Prozess reversibel
reversibel bedeutet: $\mathrm{d}W = -P \, \mathrm{d}V$ , ( $W$ ist für die Arbeit)
Wärmekapazität ist definiert als $C_\text{V} = \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_V$ , bzw $C_\text{P} = \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_\text{P}$

Wenn ich a zeichne $PV$ Diagramm für diese Situation sieht so aus:
$\hspace{175px}$ .

Das will ich jetzt zeigen $PV^\gamma=\left[\text{const}\right]$ indem Sie von gehen $\text{State 1}$ Zu $\text{State 2}$ im $PV$ Diagramm.

Ich habe so angefangen:

W = - \int_{v_{1}}^{v_{2}} P D v = - \int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{R T}{v} D v = R T \ln (\frac{v_{2}}{v_{2}})

$W ~=~ -\int_{V_1}^{V_2}P \, \mathrm{d}V ~=~ -\int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V} \mathrm{d}V ~=~ RT \ln{\left(\frac{V_2}{V_2}\right)}$

Das führt mich aber in die falsche Richtung. Ich dachte an die Verwendung $R = C_P - C_V$ hier, aber es scheint nicht zu funktionieren. Irgendwelche Vorschläge?

Bitte geben Sie mir nur einen Hinweis, nicht die Lösung.

Jinawee

Sie müssen verwenden

d U = c_{V} d T

$dU=c_V dT$ . Die Antwort findet sich in jedem Buch.

gj255

NB: "Da es keinen Wärmeaustausch gibt, ist der Prozess reversibel". Das stimmt meines Wissens nicht. Die Vermischung verschiedener Stoffe ist irreversibel, entspricht aber keinem Wärmeaustausch. (Auf der anderen Seite gibt es viele reversible Prozesse, die einen Wärmeaustausch beinhalten). Wenn wir über adiabatische Expansionen/Kompressionen sprechen, meinen wir normalerweise eine Expansion, die sowohl a) reversibel ist als auch b) keinen Wärmeaustausch beinhaltet. Der entscheidende Punkt ist, dass Letzteres allein nicht Ersteres impliziert.

Physikhilfe

Sie müssen dem Ausdruck for entsprechen

d E

$\mathrm{d}E$ gegeben durch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik mit dem Ausdruck, den man erhält, wenn man isoliert

d E

$\mathrm{d}E$ aus

C_{V} = {(\frac{\partial E}{\partial T})}_{V}

$C_V=\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V$ . Dann beide Seiten integrieren. Damit sollten Sie in der Lage sein, die endgültige Antwort zu erreichen. Eine genauere Erklärung finden Sie hier . Beachten Sie, dass die Lösungen im Link ebenfalls von mir erstellt wurden und Studydrive eine frei zugängliche Website ist.

Xasthor

Versuchen Sie, den ersten Hauptsatz der Thermodynamik anzuwenden, um einen Ausdruck zu erhalten

C_{p}

$C_p$ und/oder

C_{v}

$C_v$ und verwenden Sie dann die Definition von Gamma und die ideale Gasgleichung.

Antworten (3)

Grundlegende Thermodynamik: Quasistatischer adiabatischer Prozess

Sie müssen verwenden $dU=c_V dT$ . Die Antwort findet sich in jedem Buch.
NB: "Da es keinen Wärmeaustausch gibt, ist der Prozess reversibel". Das stimmt meines Wissens nicht. Die Vermischung verschiedener Stoffe ist irreversibel, entspricht aber keinem Wärmeaustausch. (Auf der anderen Seite gibt es viele reversible Prozesse, die einen Wärmeaustausch beinhalten). Wenn wir über adiabatische Expansionen/Kompressionen sprechen, meinen wir normalerweise eine Expansion, die sowohl a) reversibel ist als auch b) keinen Wärmeaustausch beinhaltet. Der entscheidende Punkt ist, dass Letzteres allein nicht Ersteres impliziert.
Sie müssen dem Ausdruck for entsprechen $\mathrm{d}E$ gegeben durch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik mit dem Ausdruck, den man erhält, wenn man isoliert $\mathrm{d}E$ aus $C_V=\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V$ . Dann beide Seiten integrieren. Damit sollten Sie in der Lage sein, die endgültige Antwort zu erreichen. Eine genauere Erklärung finden Sie hier . Beachten Sie, dass die Lösungen im Link ebenfalls von mir erstellt wurden und Studydrive eine frei zugängliche Website ist.
Versuchen Sie, den ersten Hauptsatz der Thermodynamik anzuwenden, um einen Ausdruck zu erhalten $C_p$ und/oder $C_v$ und verwenden Sie dann die Definition von Gamma und die ideale Gasgleichung.

Mitchell · Answer 1

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik haben Sie:

Δ U = Q + w

$\Delta U = q + w$

Als $q$ ist null,

D U = - P D v

$\mathrm{d}U = -P \, \mathrm{d}V$

Jetzt setzen $\mathrm{d}U = C_v \, \mathrm{d}T$ (molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen).

Deshalb,

C_{v} D T = - P D v

$C_v \, \mathrm{d}T = -P \, \mathrm{d}V$

Unter Verwendung der idealen Gasgleichung ersetzen $P$ von $\frac{RT}{V}$ .

- \frac{R T}{v} D v = C_{v} D T

$-\frac{RT}{V} \mathrm{d}V = C_v \, \mathrm{d}T$

Wenn Sie die Gleichung integrieren, erhalten Sie

\begin{aligned} \int_{v_{1}}^{v_{2}} - \frac{R T}{v} D v & = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v} D T \\ \frac{R T}{v} \ln (\frac{v_{1}}{v_{2}}) & = C_{v} (T_{2} - T_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{V_1}^{V_2} -\frac{RT}{V} \mathrm{d}V & = \int_{T_1}^{T_2} C_v \, \mathrm{d}T \\[10px] \frac{RT}{V} \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right) & = C_v \left(T_2 - T_1 \right) \end{align}$

Sie können nur Differentialgleichungen integrieren. $\Delta$ bedeutet eine endliche Änderung, während $d$ bedeutet eine unendlich kleine Änderung (differentielle Änderung). Eine Gleichung mit $\Delta$ kann nicht integriert werden.

Rote Undavairs · Answer 2

Die mathematische Bedingung, die Sie vermissen, ist Arbeit = -Änderung der inneren Energie (die Sie als dQ = 0 erwähnt haben).

dU wird idealerweise als n*Cv(dT) geschrieben.

Nehmen Sie n = 1 (der Einfachheit halber), setzen Sie PdV mit -dU gleich, bringen Sie R = Cv (Gamma - 1) ein (dasselbe wie Sie erwähnt haben) und integrieren Sie es. Es wird eine logarithmische Form mit einer Menge Konstanten haben.

Hoffe das hilft. Viel Glück!

Bob D · Answer 3

Vor dem Hinweis einige konzeptionelle Fragen:

Da kein Wärmeaustausch stattfindet, ist der Prozess reversibel

Nicht unbedingt. Ein adiabatischer Prozess ist irreversibel, wenn er entweder (1) nicht extrem langsam (quasi statisch) abläuft oder (2) mechanische Reibung vorliegt. Um reversibel zu sein, muss sie quasi statisch und reibungsfrei erfolgen.

reversibel bedeutet: $\mathrm{d}W = -P \, \mathrm{d}V$ , ( $W$ ist für die Arbeit)

Nicht unbedingt. Nur wenn sich das System stets im mechanischen Gleichgewicht mit der Umgebung befindet, so dass die $P$ ist sowohl der Gas- als auch der Außendruck. Das erfordert, dass der Prozess langsam durchgeführt wird. Ansonsten $P$ ist nur der äußere Druck und die Arbeit ist irreversibel.

Wärmekapazität ist definiert als $C_\text{V} = \left( > \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_V$ , bzw $C_\text{P} = > \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_\text{P}$

Dies sind nicht die Definitionen der Wärmekapazitäten. Die spezifischen Wärmekapazitäten werden anhand der spezifischen inneren Energie und Enthalpie wie folgt definiert:

C_{v} = (\frac{\partial u}{\partial T})_{v}

$c_{v}=\biggl (\frac{\partial u}{\partial T}\biggr)_v$

C_{P} = (\frac{\partial H}{\partial T})_{P}

$c_{p}=\biggl (\frac{\partial h}{\partial T}\biggr)_P$

Nun der Hinweis. Ihre Gleichung für einen reversiblen adiabatischen Prozess gilt für ein ideales Gas. Für ein ideales Gas und nur für ein ideales Gas $du=c_{v}dT$ unabhängig vom Prozess. Verwenden Sie dies zusammen mit der idealen Gasgleichung, der reversiblen Arbeitsgleichung und dem ersten Hauptsatz, und Sie können die Gleichung ableiten.

Hoffe das hilft.

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