Anwendung des Äquivalenzprinzips auf einen beschleunigten Rahmen

Deine Koordinatentransformationen sind falsch. Sie sind offensichtlich falsch, weil für groß genug$t$die Geschwindigkeit übersteigt die Lichtgeschwindigkeit. Die Transformationen sind eigentlich:

$$\begin{cases} t'=\frac{1}{a}\sinh at \\ x'=\frac{1}{a}\cosh at \\ y'=y \\ z'=z \end{cases}$$

Diese sind als Rindler-Koordinaten bekannt und geben die Raumzeitgeometrie für einen Beobachter mit konstanter Beschleunigung an$a$im$x$Richtung. Die Geometrie wird durch die Rindler-Metrik beschrieben:

$$ds^2 = -\left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)^2 c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Wenn Sie diese Metrik nehmen und den Riemann-Tensor berechnen, werden Sie feststellen, dass er Null ist, genau wie bei der Minkowski-Metrik. Ich spreche aus Erfahrung, da ich genau diese Berechnung angestellt habe, um mich davon zu überzeugen :-)

Ein Beobachter kann seine Eigenbeschleunigung messen , indem er seine Beschleunigung relativ zu einem frei fallenden Objekt misst. Beachten Sie, dass dies eine lokale Messung ist, dh sie wird an der Position des Beobachters durchgeführt. Wenn Sie die Rindler-Metrik nehmen und daraus die richtige Beschleunigung berechnen, lautet das Ergebnis:$a$, also ist es nur die Beschleunigung, mit der wir begonnen haben.

Das Äquivalenzprinzip sagt uns, dass der Beobachter nicht sagen kann, ob seine Eigenbeschleunigung auf die Schwerkraft oder auf Bewegung zurückzuführen ist. Zum Beispiel kann ein Beobachter in einem Gravitationsfeld, zB ich hier auf der Erdoberfläche sitzend, auch eine Eigenbeschleunigung berechnen. Wenn Sie interessiert sind, wird diese Berechnung in Was ist die Gewichtsgleichung durch die allgemeine Relativitätstheorie beschrieben ? .

Um etwas mehr ins Detail zu gehen, die Eigenbeschleunigung ist die Norm der Viererbeschleunigung, und die Viererbeschleunigung ist gegeben durch:

$$A^\alpha = \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$$

Dazu gibt es zwei Teile. Der erste Teil$d^2x^\alpha/d\tau^2$ist nur die Koordinatenbeschleunigung wie in der Newtonschen Mechanik, dh wie sich Ihre Position mit der Zeit ändert. Der zweite Teil$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}U^\mu U^\nu$liegt an der Krümmung der Koordinaten. Die Symbole$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$sind die Christoffel-Symbole und sie sagen uns etwas über die Krümmung in unserem Koordinatensystem.

Nehmen Sie Ihr Beispiel eines beschleunigenden Beobachters und nehmen Sie an, ich sei ein Trägheitsbeobachter, der Sie beim Beschleunigen beobachtet. In meinen Koordinaten ist die Raumzeit flach, also sind die Christoffel-Symbole alle Null, aber ich sehe, dass sich Ihre Position ändert. Also berechne ich Ihre Viererbeschleunigung zu:

$$A^\alpha{}_\text{me} = \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} + 0$$

In Ihren Koordinaten sind Sie am Ursprung stationär, sodass sich Ihre Koordinaten nicht ändern, aber die Christoffel-Symbole sind jetzt ungleich Null, sodass Sie Ihre Viererbeschleunigung wie folgt berechnen:

$$A^\alpha{}_\text{you} = 0 + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$$

Die Rechnung sieht für uns beide anders aus, aber wenn wir die Norm der Vierer-Beschleunigung nehmen, bekommen wir beide die gleiche Antwort von$a$. Sie betrachten sich also in einem Gravitationsfeld mit Erdbeschleunigung$a$während ich betrachte, dass Sie sich in einer flachen Raumzeit mit einer Trägheitsbeschleunigung befinden$a$.

Nein, keine Notwendigkeit, es zu ändern, es ist eine gute Frage, und Sie haben fast Recht.

Siehe zum Beispiel den Wikipedia-Artikel über die richtige Beschleunigung . In einem ausreichend kleinen Labor kann man nicht sagen, ob es ständig beschleunigt wird oder sich in einem Gravitationsfeld befindet. Wenn das Labor größer ist, werden Sie ab einer bestimmten Größe Gezeiten- und Schwerkraftkräfte sehen, die sich von der konstanten Beschleunigung unterscheiden. In dem Artikel wird von echter Beschleunigung gesprochen, die Beschleunigung in Bezug auf einen frei fallenden Referenzrahmen

Tatsache ist, dass es einen Krümmungstensor ungleich Null gibt, wenn es Gezeitenkräfte gibt. Nicht anders. Gerade Beschleunigung wirkt wie ein konstantes Gravitationsfeld.

Zweitens gibt es ein bekanntes Radkoordinatensystem für einen „beschleunigten Beobachter“, in dem Sinne, wie Sie es gemeint haben, dh ein beschleunigtes Referenzsystem in der Minkowski-Raumzeit. Tatsächlich können Sie aufgrund der Beschränkung auf c in diesem Referenzrahmen (dh wenn Sie ein ständig beschleunigter Beobachter wären) nur einen Teil der Raumzeit sehen, dh es gibt einen Horizont. Der Koordinatenrahmen wird Rindler-Koordinaten genannt. Der Beobachter, der in diesem Koordinatensystem ruht, dh in der Minkowski-Raumzeit ständig beschleunigt wird, sieht Strahlung vom Horizont kommen. Die Gleichung ähnelt der Hawking-Strahlung vom Horizont eines Schwarzen Lochs. Tatsächlich kann die Geometrie in der Nähe und außerhalb eines Horizonts eines Schwarzen Lochs mit einem Beobachter und einem in diesem Rahmen ruhenden Beobachter durch die Rindler-Koordinaten angenähert werden. Das ist ziemlich erstaunlich und ein weiteres Beispiel dafür, wie das Äquivalenzprinzip es richtig macht, wenn Sie es richtig interpretieren. Weiteres sieheder Wikipedia-Artikel über Rindler-Koordinaten .