Ist die spezielle Relativitätstheorie mit Einsteins Äquivalenzprinzip (EEP) vereinbar?

Menschen, die die Spezielle Relativitätstheorie lernen, wird zu oft gesagt, dass es sich nur um eine Theorie handelt, die für Trägheitssysteme funktioniert. Das ist nicht wahr . Die spezielle Relativitätstheorie ist einfach eine Gravitationstheorie im flachen Raum.

Lassen Sie mich das klären.

(Die nächsten Absätze sind für Leute gedacht, die gerade die Relativitätstheorie lernen, und können für diejenigen, die mit dem Vier-Vektor-Formalismus vertraut sind, übersprungen werden.)

Das Wesen der speziellen Relativitätstheorie ist die Definition des Lorentz-invarianten Maßes der Eigenzeit . Für zwei durch eine Zeit getrennte Ereignisse$\Delta t$und eine räumliche Verschiebung$\Delta\textbf{x}$, wir definieren

$$\Delta\tau^2=\Delta t^2-\Delta\textbf{x}^2$$

In Einheiten wo$c=1$. Um zu überprüfen, ob dies Lorentz-invariant ist, wird auch ein Lichtimpuls vorhanden sein$\Delta t=|\Delta\textbf{x}|$, und so$\Delta\tau=0$. Unter Lorentz-Transformationen ist dies unveränderlich, da die Lichtgeschwindigkeit konstant gehalten wird. Die Invarianz für andere Geschwindigkeiten kann leicht überprüft werden.

Die geometrische Interpretation dieser Invarianz ist das Herzstück von SR und GR. Wenn wir einen Vierervektor als vektorielles Objekt definieren,$x^{\mu}$, mit vier Komponenten ($\mu=0,1,2,3$) so dass$x^0=t$,$x^1=x$,$x^2=y$, Und$x^3=z$. Dann ist die infinitesimale Form der Eigenzeit gegeben durch

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^{\nu}$$

Wo$\mu$Und$\nu$werden implizit über und summiert$\eta$ist eine Matrix mit Elementen

$$\eta=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Dies ist ein Beispiel dafür, was wir einen metrischen Tensor nennen . Im Moment ist es nicht so wichtig, die Geometrie des metrischen Tensors zu verstehen, stellen Sie sich ihn einfach als die Matrix vor, die den "Abstand" zwischen zwei Objekten berechnet.

Beachten Sie jedoch, was passiert, wenn wir die Koordinaten ändern$x^{\mu}\to\xi^{\mu}$, bei dem die$\xi$Koordinaten hängen willkürlich von der ab$x$Koordinaten. Wir haben

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\left(\frac{\partial x^{\mu}}{\partial\xi^{\rho}}\mathrm{d}\xi^{\rho}\right)\left(\frac{\partial x^{\nu}}{\partial\xi^{\sigma}}\mathrm{d}\xi^{\sigma}\right)\equiv g_{\rho\sigma}(\xi)\mathrm{d}\xi^{\rho}\mathrm{d}\xi^{\sigma}$$

Wo wir ein neues Tier definiert haben,$g(\xi)$, der nun ein metrischer Tensor ist, der von der Position in der Raumzeit abhängt. Dies ist das grundlegende Objekt in GR (auch wenn wir GR nicht machen!).

Lassen Sie uns tatsächlich ein Beispiel dafür berechnen. In sphärischen Koordinaten haben wir$t=t$,$x=r\cos{\phi}\sin{\theta}$,$y=r\sin{\phi}\sin{\theta}$, Und$z=r\cos{\theta}$. Transformation der Koordinaten, wir haben

$$\mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r^2-r^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2{\theta}\mathrm{d}\phi^2\right)$$

Die Koeffizienten der differentiellen Koordinatenänderungen sind ortsabhängig!

Es gibt ein anderes Beispiel (das relevanter für das ist, was Sie wollen), namens Rindler-Koordinaten , in dem das richtige Zeitelement als angegeben ist

$$\mathrm{d}\tau^2=a^2x^2\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}\textbf{x}^2$$

Obwohl es nicht offensichtlich ist, beschreiben diese Koordinaten eine konstante Beschleunigung$a$im$x$Richtung und sind durch die Transformationen auf das Zwischensystem bezogen

$$t\to\frac{1}{a}\text{arctan}\left(\frac{t}{x}\right),\hspace{0.5cm}x\to\sqrt{x^2-t^2},\hspace{0.5cm}y\to y,\hspace{0.5cm}z\to z$$

Da es eine Koordinatentransformation gibt, die dieses beschleunigende System mit einem flachen System in Beziehung setzt, ist es perfekt mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel.

Okay, das ist eine Menge Gerede über die Spezielle Relativitätstheorie, ohne zu erwähnen, wie sie sich auf die Allgemeine Relativitätstheorie bezieht. Die Grundidee ist, dass es in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht unbedingt eine Transformation gibt, die den metrischen Tensor nimmt$g$zur flachen Metrik$\eta$an jedem Punkt. Es erlaubt jedoch eine Transformation an jeder Stelle$X$so dass$g(X)=\eta$Und$\partial_{\mu}g(X)=0$(Hier,$\partial_{\mu}=\partial/\partial x^{\mu}$). Das sagt eigentlich das Äquivalenzprinzip aus.

In der Nähe eines Gravitationskörpers ist der metrische Tensor ungefähr durch eine Rindler-Metrik gegeben (das ist genau dasselbe wie zu sagen, dass wir in der Nähe eines Gravitationskörpers das Feld als konstante Beschleunigung annähern können). Da es eine Transformation von Rindler zu flachen Koordinaten gibt, haben wir, dass es einen Satz von Koordinaten gibt (nämlich frei fallende Koordinaten), so dass ein Gravitationsfeld lokal träge aussieht!

Ich habe mir viel Zeit genommen, um Ihnen zu erklären, warum das Äquivalenzprinzip funktioniert. Das war ein sehr langer Umweg, und jetzt kommen wir zum Kern Ihrer Frage: Die Ausbreitung von Licht in einem beschleunigten Koordinatensystem im Vergleich zu einem Gravitationsfeld.

Ich beantworte zuerst den letzten Teil Ihrer Frage. Die Ergebnisse wären identisch gewesen, wenn der Laserpuls für den beschleunigten Beobachter innerhalb oder außerhalb des Kompartiments erzeugt worden wäre, was die Intervalle zwischen Emission und Absorption betrifft.

Zum ersten Teil Ihrer Frage: Sie betrachten ein Szenario, in dem ein Impuls periodisch von einem Laser abgegeben wird, und Sie messen seinen Weg. In diesem Koordinatensystem ist der Weg selbst zeitunabhängig. Da sich jedoch im Inertialsystem der eigentliche Laser selbst bewegt, ist der Punkt, an dem der Puls landet, eindeutig zeitabhängig. Das Fach bewegt sich nicht nur, sondern zieht sich immer mehr zusammen, je schneller es geht. Die Interpretation, dass der Trägheitsbeobachter das Kompartiment immer schneller und schneller fahren sieht, während es immer kürzer wird, sodass der Puls immer an der gleichen Stelle auf dem Kompartiment getroffen wird.

Ich hoffe, das ist hilfreich. Wenn irgendetwas unklar ist (wie es bei Problemen wie diesem normalerweise der Fall ist), können Sie gerne Fragen stellen!