Dumme Zweifel an Gezeiteneffekten und Einstein-Feldgleichungen

Angenommen, ich gebe Ihnen das folgende Linienelement:

Ohne etwas zu sagen, könnten Sie denken, dass dies nur ein weiteres Linienelement ist, wie ein Linienelement in sphärischen Koordinaten; Sie könnten denken, dass ich nur eine weitere Koordinatentransformation an einem System durchführe, das mit einem bestimmten Diagramm in der Mannigfaltigkeit ausgestattet ist$(M,g)$.

Aber, wenn ich dir das sage$(1)$Linienelement beschreibt die Newtonsche Schwerkraft, und darüber hinaus, dass die Symbole$\phi$genau das Newtonsche Gravitationspotential sind, dann fragen Sie vielleicht: "warum?" Ich würde dir folgende Erklärung geben:

Die Bewegung eines frei fallenden Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit ergibt sich dann aus der folgenden Berechnung der absoluten oder intrinsischen Ableitung:

$$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = p^{b}(\partial_{b}p^{a} + \Gamma ^{a}_{cb}p^{c})$$ Betrachtet man das Linienelement von$(1)$und nichtrelativistischen Geschwindigkeiten reduziert sich die Bewegungsgleichung auf (räumliche Komponenten): $$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = m\frac{d}{d\tau}p^{i} + \Gamma ^{i}_{00}(p^{0})^{2}$$ Was nach Berechnungen reduziert wird auf: $$\frac{dp^{i}}{d\tau} = -m \delta^{ij}\partial _{j}\phi = -m\partial _{i}\phi$$ Wenn man nun bedenkt, dass wir uns in einem Bereich niedriger Geschwindigkeiten befinden, dann gilt die Newtonsche Gleichung: $$F^{i} = -m(\nabla \phi_{g})^{i}$$ Dann, da auch gilt, durch die spezielle Relativitätstheorie, dass: $$F^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau}$$ Dann, $$-m(\nabla \phi_{g})^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau} = -m\partial _{i}\phi$$ Impliziert, dass $$\phi = \phi_{g}$$ Und das Linienelement beschreibt tatsächlich die Newtonsche Gravitation.

Nun, eine vernünftige Erklärung dafür gegeben$\phi = \phi_{g}$, man könnte auch sagen, dass nach dem Äquivalenzprinzip$(1)$beschreibt auch in einer lokalen Region eine relativistische Form der Schwerkraft.

Aber hier kommt mein Zweifel, ich weiß, dass die geodätische Abweichung Ihnen den Riemann-Tensor gibt, und für die Metrik$(1)$Sie können schlussfolgern, dass die allgemeine Größe, die den Begriff „Schwerkraft als Krümmung“ codiert, vom Ricci-Tensor sehr nahegelegt wird, da der folgende Ausdruck Ihnen eine Möglichkeit gibt, über Gezeiteneffekte zu sprechen:

$$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}} = R^{\mu}_{\nu \gamma \beta} u^{\nu}u^{\gamma} \delta x^{\beta} \implies a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j}$$

Wo$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}}$heißt Beschleunigung zwischen Geodäten, gegeben durch geodätische Abweichung .

Und jetzt der Zweifel: Warum sind Gezeiteneffekte nicht lokal? Da wir Gezeiteneffekte mit dem Linienelement von beschreiben können$(1)$von

$$a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j} = -\frac{1}{c^{2}}\partial^{k} \partial_{k}\phi_{g}$$