Arbeit durch isotherme Expansion aus zwei verschiedenen Blickwinkeln

Question

Arbeit durch isotherme Expansion aus zwei verschiedenen Blickwinkeln

Gerhard

Betrachten Sie ein adiabatisches System wie folgt. Es besteht aus einem Gas in einem Behälter und einem Kolben. Zu Beginn befindet sich das System im Gleichgewicht und das darin enthaltene Gas nimmt ein Volumen ein $V_i$ bei einem Druck $p_i$ was gleich dem Außendruck ist. Plötzlich ändert sich der Außendruck und sinkt zu $p_{atm}$ . Der Kolben bewegt sich, um den Druck auszugleichen, und das Gas dehnt sich isotherm aus, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Das Gas nimmt nun ein Volumen ein $V_f$ bei einem Druck von $p_f$ was gleich ist $p_{atm}$

Nun, zwei Lehrbücher, die ich habe, definieren die geleistete Arbeit aus zwei verschiedenen Blickwinkeln.

1: Aus Sicht der Umgebung :

Die Arbeit, die von der Umgebung am System geleistet wird, ist gleich $-p_{atm}\Delta V$ . Seit $p_{atm}$ während des gesamten Prozesses ziemlich konstant ist, können wir sagen, dass die geleistete Arbeit gleich ist:

\begin{matrix} (1) & W_{1} = - P_{A T M} (v_{F} - v_{ich}) \end{matrix}

$W_1 = -p_{atm}(V_f - V_i)\tag1$

2: Aus Sicht des Systems:

Wir können den Innendruck des Systems als Funktion seines Volumens schreiben: $p_{in}(V)$ . Da sich bei der Expansion der Innendruck ändert, ist die vom System verrichtete Arbeit gleich

W_{2} = \int_{v_{ich}}^{v_{F}} P_{ich N} (v) D v

$W_2 = \int_{V_i}^{V_f}p_{in}(V)dV$

Jetzt weiß ich nicht, welche Definition ich verwenden soll. Die Arbeit wird vom System (aus Definition 2) an der Umgebung verrichtet. Aber was ist mit der negativen Arbeit, die die Umgebung auf das System getan hat? Wo ist diese Energie geblieben? Vielleicht drücken die beiden Definitionen dasselbe aus: die vom System geleistete Arbeit. Das negative Vorzeichen in Definition 1 bedeutet, dass die Arbeit vom System erledigt wird. Aber das würde das bedeuten

W_{1} = W_{2}

$W_1 = W_2$

Wir können vereinfachen $W_2$ folgendermaßen. Deutlich,

P_{ich N} (v) = \frac{P_{ich} v_{ich}}{v}

$p_{in}(V) = \frac{p_iV_i}{V}$

\begin{matrix} (2) & W_{2} = \int_{v_{ich}}^{v_{F}} \frac{P_{ich} v_{ich}}{v} D v = P_{ich} v_{ich} \ln \frac{v_{F}}{v_{ich}} \end{matrix}

$W_2 = \int_{V_i}^{V_f}\frac{p_iV_i}{V}dV = p_iV_i \ln{\frac{V_f}{V_i}} \tag2$

Der Innendruck, wenn das Volumen gleich ist $V_f$ Ist $p_{atm}$

⟹ P_{A T M} = P_{ich N} (v_{F}) = \frac{P_{ich} v_{ich}}{v_{F}}

$\implies p_{atm} = p_{in}(V_f) = \frac{p_iV_i}{V_f}$

⟹ v_{F} = \frac{P_{ich} v_{ich}}{P_{A T M}}

$\implies V_f = \frac{p_iV_i}{p_{atm}}$

Setzen Sie dies ein $(1), (2)$ gibt uns,

W_{2} = P_{ich} v_{ich} \ln \frac{P_{ich}}{P_{A T M}}

$W_2 = p_iV_i\ln{\frac{p_{i}}{p_{atm}}}$

W_{1} = - P_{A T M} (\frac{P_{ich} v_{ich}}{P_{A T M}} - v_{ich}) = - v_{ich} (P_{A T M} - P_{ich})

$W_1 = -p_{atm}\left(\frac{p_iV_i}{p_{atm}} - V_i\right) = -V_i(p_{atm} - p_i)$

Betrachten Sie einige Werte. Lassen $p_i = 5 \ \rm{Pa}, V_i = 1 \ \rm{m^3}, p_{atm} = 1 \ \rm{Pa}$ .

W_{1} = - 1 \cdot (1 - 5) = 4

$W_1 = -1\cdot(1-5) = 4$

W_{2} = 1 \cdot 1 \cdot \ln \frac{5}{1} = 1.609

$W_2 = 1\cdot1\cdot\ln{\frac{5}{1}} = 1.609$

Wo mache ich einen Fehler?

Mirc Breitschuh

Wenn Ihr System adiabat ist, dehnt sich das Gas im Behälter eher isentrop als isotherm aus, wenn keine Reibung beteiligt ist.

Antworten (2)

Arbeit durch isotherme Expansion aus zwei verschiedenen Blickwinkeln

Wenn Ihr System adiabat ist, dehnt sich das Gas im Behälter eher isentrop als isotherm aus, wenn keine Reibung beteiligt ist.

N. Jungfrau · Answer 1

Ihre eigene Antwort geht in die richtige Richtung: Der Schlüssel ist, dass dies kein quasi statischer Prozess ist und das System aus dem Gleichgewicht gerät.

In der Praxis wird sich der Kolben jedoch wahrscheinlich nicht so schnell bewegen, dass Sie den Druck überhaupt nicht definieren können. Stattdessen verliert das System gleich Energie $W_2$ (in guter Näherung), und die Umwelt gewinnt gleich an Energie $W_1$ . Der Unterschied zwischen den beiden liegt im Kolbenstopfen selbst in Form von kinetischer Energie.

Da der Kolben Energie hat, bewegt er sich weiter und dehnt das Gas aus. Dann bremst die Druckdifferenz den Kolben ab, bis er sich in die andere Richtung zu bewegen beginnt, und so weiter, was zu Schwingungen führt. Allmählich hört es aufgrund von Reibungsverlusten (entweder im Gas selbst oder durch Reibung zwischen dem Kolben und seinem Gehäuse) auf zu oszillieren. Da das System isotherm ist, wird die entstehende Wärme an die Umgebung abgegeben.

Das Endergebnis ist, dass, nachdem der Kolben aufgehört hat zu oszillieren, der Kolben eine Menge Arbeit verrichtet hat $W_1$ auf die Umgebung, sondern es hat auch gleich eine Wärmemenge abgegeben $W_2 - W_1$ , und daher hat sich seine innere Energie um geändert $W_2$ .

Nathaniel hat die richtige Antwort! Ich füge dem nur hinzu, dass man das im Allgemeinen für jeden Prozess immer sagen kann $dU=\delta Q + \delta W = TdS-pdV$ . Hier $U,T,S,p,V$ sind die Zustandsvariablen des Systems und $\delta Q, \delta W$ sind die von außen zugeführte Wärmeübertragung und Arbeit am System. Die Gleichheit gilt immer, aber nur in einem reversiblen Prozess $\delta Q=TdS$ Und $\delta W = -pdV$ . Wenn der Prozess stattdessen irreversibel ist, hat man $\delta Q < TdS$ Und $\delta W > -pdV$ . Der Unterschied $\delta W+pdV>0$ ist die intern dissipierte Energie.

Gerhard · Answer 2

Nach einigem Nachdenken bekam ich die Antwort. Beim Absenken des Umgebungsdrucks ab $p_i$ Zu $p_{atm}$ , gerät das System aus dem Gleichgewicht, die Ausdehnung des Gases ist also nicht quasistatisch. Alle Zustandsvariablen wie Druck und Volumen sind also nicht definiert. Wir können sie also nicht zur Berechnung der in Definition 2 geleisteten Arbeit verwenden.

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Gerhard

Mirc Breitschuh

Antworten (2)

N. Jungfrau

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Gerhard

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