Austrittstemperatur von Gas durch ein Rohr

Obwohl dies ein schwierig zu modellierendes Problem ist, kann eine einfache konzentrierte thermische Analyse ein gewisses Verständnis und eine ungefähre Lösung bringen.

Wir betrachten den Materialfluss durch das Rohr als Pfropfenströmung und untersuchen die Temperatur eines kleinen Massenelements$dx$das Rohr hinunterfahren.

Unter Verwendung des Newtonschen Abkühlungs-/Erwärmungsgesetzes und nur unter Berücksichtigung konvektiver Wärmeverluste können wir schreiben:

$$\frac{dQ}{dt}=u(T-T_{\infty})dA,$$

wobei LHS der Wärmefluss ist, der das Element verlässt,$u$der Gesamtwärmedurchgangskoeffizient ,$dA$die Oberfläche des Elements,$T$seine Temperatur u$T_{\infty}$die Umgebungstemperatur. Wenn wir uns ein wenig entwickeln, erhalten wir:

$$\frac{dQ}{dt}=\pi Du(T-T_{\infty})dx,\tag{1}$$

Wo$D$ist der Rohraußendurchmesser.

Da das Element Wärme verloren hat:

$$dQ=-dmc_pdT$$

$c_p$ist die Wärmekapazität des Gases. Teilen Sie beide Seiten durch$dt$und mit$\dot{m}=\frac{dm}{dt}$gibt:

$$\frac{dQ}{dt}=-\dot{m}c_pdT,\tag{2}$$

Wo$\dot{m}$ist der Massendurchsatz des Gases.

Verwendung der Identität$(1)=(2)$, erhalten wir eine einfache Differentialgleichung:

$$-\dot{m}c_pdT=\pi Du(T-T_{\infty})dx$$

$$\frac{dT}{T-T_{\infty}}=-\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}dx=-\alpha dx,\tag{3}$$

Wo:

$$\alpha=\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}$$

Integrieren$(3)$zwischen$0, T_1$Und$L, T_2$gibt:

$$\ln\frac{T_2-T_{\infty}}{T_1-T_{\infty}}=-\alpha L,\tag{4}$$

Wo$T_1$Und$T_2$sind die Eintritts- und Austrittstemperaturen des Gases bzw. und$L$ist die Rohrlänge. Aus$(4)$,$T_2$lassen sich leicht herausziehen.

Der Gesamtwärmeübergangskoeffizient$u$kann geschätzt werden aus:

$$\frac1u\approx\frac{1}{h_1}+\frac{\theta}{k}+\frac{1}{h_2},$$

Wo$h_1$ist der Konvektionswärmeübergangskoeffizient Gas / Glimmer,$k$die Wärmeleitfähigkeit von Glimmer,$\theta$die Wandstärke u$h_2$ist der Konvektionswärmeübergangskoeffizient Glimmer/Luft.

Einschränkungen des Modells:

Bei hohen Temperaturen ist Konvektion nicht der einzige Wärmeverlustmodus: Strahlungsverlust wird ebenfalls wichtig sein. Dies kann behoben werden, indem eine Strahlungswärmeverlustfunktion hinzugefügt wird$(1)$. Mit Stefan-Boltzmann wäre die Verlustfunktion:

$$\sigma\epsilon(T^4-T^4_{\infty})dA$$

Zweitens ist die Annahme einer Pfropfenströmung im Fall einer Flüssigkeit mit niedriger Geschwindigkeit und niedriger Viskosität wie einem heißen Gas nicht sehr realistisch. Die Annahme einer laminaren Strömung erfordert jedoch einen weitaus anspruchsvolleren mathematischen Ansatz.

Numerische Auswertung:

$(4)$überarbeitet zu:

$$T_2=T_{\infty}+(T_1-T_{\infty})e^{-\alpha L}$$

Schätzen$\alpha$, Ich benutzte:

$u\approx 17\:\mathrm{Wm^{-1}K^{-1}}$, basierend auf OP-Daten und Literaturwerten.

$c_p=1000\:\mathrm{Jkg^{-1}K^{-1}}$

$\dot{m}=0.000009\:\mathrm{kg/s}$

$D=0.010\:\mathrm{m}$

Das gibt eine Schätzung von$\alpha\approx 70\:\mathrm{m^{-1}}$.

Mit$T_1=1100\:\mathrm{C}$Und$T_{\infty}=20\:\mathrm{C}$, mit$L=1\:\mathrm{m}$, Ich bekomme:

$$T_2\approx 20\:\mathrm{C}$$

Also vorbei$1\:\mathrm{m}$, wäre das Gas vollständig abgekühlt.

Für andere Rohrlängen$x$, bewerten als:

$$T_2=20+1080e^{-70x}$$