Basiszustände für Vielteilchensysteme

Betrachten Sie a$N$-dimensionaler Vektorraum$V$und lass$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$Grundlage sein$V$.

Konzentrieren Sie sich als nächstes auf den antisymmetrischen Raum$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$Wo$V$tritt ein$M\leq N$mal.

Eine Grundlage von$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$ausgebaut werden kann$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$Nutzung des Beamers

$$A: V\otimes\cdots \otimes V \to (V\otimes\cdots \otimes V)_A$$ definiert als die eindeutige lineare Erweiterung von $$A (v_1\otimes \cdots \otimes v_M) := \frac{1}{\sqrt{M!}}\sum_{\sigma \in P_M} \mbox{sgn}(\sigma)\: v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(M)}\:.$$ Über $P_M$ist die symmetrische Gruppe von$M$Elemente .

Die besagte Grundlage von$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$($M$Zeiten) besteht aus den Elementen für$i_1,\ldots, i_M \in \{1,\ldots,N\}$

$$\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M} := A(\chi_{i_1}\otimes \cdots \otimes \chi_{i_M})\mbox{ where} \quad i_1 < i_2< \ldots < i_M\:.$$ Im Hinblick auf die letzte Einschränkung sind diese Elemente ${N \choose M}$So $1$für $N=M$. Wenn stattdessen die Einschränkung $i_1 < i_2< \ldots < i_M$ist gefallen $\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M}$ergibt sich der Nullvektor oder ein bereits bis zum Vorzeichen hochgezählter Vektor.

Beachte das$A (v_1\otimes \cdots \otimes v_M)$ist nichts als die Slater-Determinante der$M$Elemente$v_k$.

Wenn$V=H$ist ein ($N$-dimensional) Hilbertraum und$V\otimes\cdots \otimes V$ist mit der analogen induzierten Struktur ausgestattet,$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$stellt sich als abgeschlossener Unterraum heraus,$A$einem orthogonalen Projektor und ausgehend von einer orthonormalen Basis$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$von$H$, die Elemente$\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M}$bilden eine orthonormale Basis$(H\otimes\cdots \otimes H)_A$sowie. Das Ergebnis lässt sich leicht auf den Fall eines unendlichdimensionalen Hilbertraums übertragen.