Kann ein Produkt eines Ket-Vektors wie |A⟩|B⟩|A⟩|B⟩|A\rangle |B\rangle definiert werden?

Der Autor meint das Tensorprodukt der Ket-Vektoren. Dies ist in der Tat eine Möglichkeit, Vektoren miteinander zu "multiplizieren", obwohl es subtil ist, da der resultierende Produktvektor tatsächlich in einem anderen Vektorraum liegt als die ursprünglichen. Seine Notation ist jedoch ziemlich ungewöhnlich, da Physiker das Tensorprodukt von Vektoren fast immer mit dem Symbol bezeichnen$\otimes$, nicht$\prod$. Je mehr Standardnotation wäre

$$|M\rangle = \bigotimes_{i=1}^N |n_i\rangle.$$

Zuerst erkläre ich, wie ein Vektor für endlichdimensionale Räume funktioniert, und verallgemeinere ihn dann auf die Hilbert-Räume in der Quantenmechanik, wobei ich intuitiv beginne und es etwas strenger mache.

"Multiplikation von Vektoren" geschieht, wenn Sie ein direktes (Tensor-) Produkt von Vektorräumen haben. Sagen wir für gewöhnliche Vektoren 2D-Vektoren in$\mathbb{R}^2$, das direkte Produkt von zwei von ihnen würde einen Tensor 2. Ranges oder eine Dyade (dargestellt durch 2x2-Matrizen) ergeben, als ob Sie den gesamten Vektor in die Komponente eines anderen Vektors einfügen würden:

$$\tag{(1)}\mathbf{v} \;\mathbf{u} = \begin{bmatrix} v_1 \mathbf{u} \\ v_2 \mathbf{u} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 u_1 & v_1 u_2 \\ v_2 u_1 & v_2 u_2 \end{bmatrix}$$ wobei Sie sich n direkte Produkte eines Vektors vorstellen können, der ein Array einer Größe konstruiert $2 \times 2 \times \ldots \times 2$, wie ein n-dimensionaler "Würfel".

Wenn es sich um einen "unendlich dimensionalen" Hilbert-Raum handelt, wäre dies natürlich abstrakter, aber die komponentenweise Darstellung hätte dieselbe Struktur (n-Rang-Arrays). Die Zustandsvektoren des direkten Produktraums wären also ein n-Array aus unendlichen Zahlen, als würden Sie die Werte in einen n-dimensionalen Würfel platzieren, aber die Seiten des Würfels erstrecken sich bis ins Unendliche.

Für ein einzelnes Teilchen wäre ein generischer Zustand$|\psi\rangle$ein unendlicher Dimensionsvektor. Wenn die Basiszustände durch eine natürliche Zahl dargestellt werden,$n$, dann hast du unendlich viele Basisvektoren:

$$\Big\{ |0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \ldots \Big\}$$ jeder von ihnen sind Vektoren, ähnlich wie üblich $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$im dreidimensionalen Raum aber unendlich, nicht 3. Sie können mit bezeichnet werden $|n\rangle$wobei n jede natürliche Zahl sein kann.

Hier ist n keine Variable, sondern ein Label, wie statt zu schreiben$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$, Du kannst schreiben$\hat{e}_i$wo i von 1 bis 3 läuft und es ein dreidimensionaler Vektor ist, nicht 1D. Die Klammernotation ist also nicht das Schreiben der Komponenten in Klammern, sondern dient zum Beschriften des Vektors selbst .

Daher wäre der generische Zustand

$$|\psi\rangle = a_0 |0\rangle + a_1 |1\rangle+ \ldots = \sum_n a_n |n\rangle,$$ Wenn Sie nun das Tensorprodukt zweier Zustandsvektoren nehmen, würden Sie erhalten $$\begin{align} |\Psi\rangle &= |\psi_1 \rangle | \psi_2\rangle \\ &= a_{00} |0\rangle|0\rangle + a_{01} |0\rangle |1\rangle + a_{02}|0\rangle |2\rangle + \ldots + a_{mn} |m\rangle |n\rangle + \ldots \end{align}$$ in Bezug auf die Produktraumbasis. Wie Sie sehen, ist jede „neue“ Basis ein direktes Produkt zweier „alter“ Basis. Die Komponenten dieses Zustandsvektors sind $a_{mn}$, genau wie Gleichung (1) für das direkte Produkt von 2D-Vektoren, aber es wird durch eine Matrix mit unendlichen Dimensionen dargestellt . Wenn Sie das direkte Produkt von drei Vektorräumen nehmen, dann wäre jede Komponente $a_{mn\ell}$wie ein unendlich breiter Würfel, und so weiter.

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Lassen Sie mich jetzt strenger sein.

Lassen$\mathcal{H}_i$bezeichnen den i-ten Einzelteilchen-Hilbert-Raum. Dann wäre der Hilbert-Raum aller Teilchen im System das direkte Produkt aller Hilbert-Räume,

$$\begin{align} \mathcal{H} &= \bigotimes_{i \in I}\mathcal{H}_i \\ & = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \ldots \otimes \mathcal{H}_n \end{align}$$

so dass für jeden Vektor$| \Psi \rangle \in \mathcal{H}$, du hast

$$\begin{align} |\Psi\rangle &= \prod_{i \in I} |\psi_i\rangle =|\psi_1\rangle |\psi_2\rangle \ldots |\psi_n\rangle \end{align}$$ Wo $I$ist eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen und $| \psi_i \rangle \in \mathcal{H}_i$.

Wir Physiker missbrauchen meistens die Bezeichnungen mathematischer Objekte. Mathematiker schreiben lieber$\bigotimes$anstatt$\prod$da es sich nicht um eine innerhalb einer Struktur (d. h. einer Algebra) definierte Multiplikation handelt$^{(*)}$), sondern eine äußere Komposition. Da wir aber wissen, dass es zwischen Zustandsvektoren keine solche Multiplikation gibt, die Zustände also keine Algebra bilden, ist diese Notation in der Quantenmechanik nicht mehrdeutig.

Für jede$|\psi_i\rangle$Sie können seitdem so viele Werte wie möglich haben$\psi_i$ist eine Zahl und kann reell oder komplex oder einfach eine natürliche Zahl sein. Beispielsweise könnten es die Impuls-Eigenzustände des i-ten Teilchens sein, also$|p_i \rangle$, und der gesamte Zustand repräsentiert verschiedene Impulse von n Teilchen.

In Ihrem Lehrbuch, dem Staat$|n_i\rangle$bedeutet, dass es durch die natürliche Zahl n dargestellt wird, aber diese Zahl wäre für jeden Zustand im direkten Produkt unterschiedlich. Also haben sie es zum Beispiel mit i beschriftet, es könnte sein

$$| M \rangle = |1\rangle |3\rangle |15\rangle |4\rangle \ldots$$ Manchmal schreiben wir einfach $|1,3,15, 4, \ldots\rangle$kurz.

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$^{(*)}$Eine Algebra ist ein Vektorraum, der mit einer Vektormultiplikation zusammen mit der Vektoraddition ausgestattet ist, die Vektorräume standardmäßig haben. Beispielsweise bilden lineare Operatoren in der Quantenmechanik eine Algebra auf dem komplexen Hilbert-Raum,$L^2(\mathbb{C})$. Aber die Zustandsvektoren bilden keine Algebra, dh man kann nicht zwei Zustandsvektoren multiplizieren, um einen anderen Zustandsvektor im selben Hilbert-Raum zu erhalten.

Die vorherigen Antworten haben erklärt, wie eine Multiplikation von Vektoren mathematisch als Tensorprodukt definiert werden kann. Ich werde hier ein wenig mehr physische Informationen geben, die wichtig sind und mir nicht klar gesagt wurden, als ich von diesem Zeug erfuhr.

In der Quantenmechanik leben Zustände eines Systems in einem Hilbert-Raum. Wie beschreibt man Zustände eines Systems? Nun, jedes System hat eine Reihe von Freiheitsgraden. In der klassischen Mechanik hätte beispielsweise ein Doppelpendel zwei Freiheitsgrade:$\phi_1$Und$\phi_2$, wobei die Winkel die Positionen der verschiedenen Pendel darstellen. Alternativ können Sie die Position eines Balls auf einer 2D-Ebene betrachten, die durch seine Positionsvariablen beschrieben wird$x$Und$y$.

Nun, quantenmechanisch ist es dasselbe. Ein System hat Freiheitsgrade . Der Unterschied besteht darin, dass diese Freiheitsgrade nicht durch bloße Variablen der c-Zahl (komplexe Zahl) quantifiziert werden, sondern durch Quantenoperatoren. Also zum Beispiel$x$wird ersetzt durch$\hat{x}$. Und$y$wird ersetzt durch$\hat{y}$.$\hat{x}$Und$\hat{y}$sind natürlich Quantenoperatoren. Da sie Operatoren sind, bedeutet dies, dass sie auf Hilbert-Räume wirken. Insbesondere kann der jedem Freiheitsgrad entsprechende Operator auf einen eigenen Hilbert-Raum wirken. Das heißt, es gibt einen Hilbertraum$\mathcal{H}_x$auf welche$\hat{x}$Akte und ein Hilbertraum$\mathcal{H}_y$auf welche$\hat{y}$handelt.

Wenn nur einer der Freiheitsgrade vorhanden wäre, könnten wir den Gesamtzustand des Systems durch Angabe beschreiben$\lvert \psi \rangle_x \in \mathcal{H}_x$, der Vektor im Hilbert-Raum, der den Zustand des Systems darstellt. Wenn es jedoch mehrere Freiheitsgrade gibt, müssen Sie etwas angeben, das den Zustand jedes Freiheitsgrads im System beschreibt.

Ich habe erklärt, dass es für jeden Freiheitsgrad einen Hilbert-Raum gibt. Das Tensorprodukt ist, wie in den vorherigen Antworten gut erklärt, das Werkzeug, mit dem die Sub-Hilbert-Räume für jeden Freiheitsgrad zu einem Gesamt- Hilbert-Raum für das System kombiniert werden. Der Zustand des Systems ist dann vollständig durch die Angabe eines Vektors innerhalb des gesamten Hilbertraums gegeben.

Hier ist der entscheidende Punkt: Im Allgemeinen, wenn ein Hilbert-Raum$\mathcal{H}_{tot}$ist ein Tensorprodukt kleinerer Hilbert-Räume$\mathcal{H}_1$Und$\mathcal{H}_2$dann irgendein Vektor rein$\mathcal{H}_{tot}$kann als Linearkombination von Tensorprodukten von Vektoren geschrieben werden$\mathcal{H}_1$Und$\mathcal{H}_2$. Der in Ihrem Buch beschriebene Zustand ist ein Beispiel für einen solchen Zustand.

Zusammenfassend: Wenn ein Quantensystem mehr als einen Freiheitsgrad hat, werden Zustände als Linearkombinationen von Tensorprodukten von Vektoren aus den Hilbert-Räumen beschrieben, die jedem Freiheitsgrad entsprechen.