Nachdem ich die BCS-Theorie gelesen habe, bin ich über eine scheinbare Inkonsistenz verwirrt. Einerseits führt es auf der Motivationsebene gebundene, also bosonische Cooper-Paare ein, die eine Verdichtung unter Umgehung des Pauli-Ausschlusses rechtfertigen. Dann behandelt es Bogolons als fermionische Elektron-Loch-Überlagerungen, die einer Fermi-Dirac-Verteilung gehorchen (siehe Gl. (60) in 1 , (3.48) in [2]). In der eigentlichen BCS-Ableitung gibt es keine Spur von Bose-Einstein-Statistik, die die Cooper-Paare beschreiben sollte, da es sich um Bosonen handelt. Laut Wikipedia "dürfen mehrere Cooper-Paare [als Bosonen] im selben Quantenzustand sein, der für das Phänomen der Supraleitung verantwortlich ist". Wenn sie Bosonen sind, wie können sie dann durch die Fermi-Statistik beschrieben werden, die auf dem Pauli-Ausschluss beruht?
1 Rafael M. Fernandes, Vorlesungsunterlagen: BCS-Theorie der Supraleitung
[2] Tinkham M. Einführung in die Supraleitung (2. Aufl., MGH, 1996)
PS1 Die folgende vorläufige Zusammenfassung ist direkt von Artems Antwort unten inspiriert, die ich akzeptieren würde, wenn es sich nicht deklariert um eine Entwurfsversion handeln würde (in der Tat bedürfen einige der abschließenden Bemerkungen der Klärung).
Die BCS-Theorie befasst sich nicht mit Cooper-Paaren. Dennoch beschreibt es, wie Elektronenpaare mit entgegengesetztem Spin und Impuls eine von Null verschiedene Lücke erhalten, wenn sie unterhalb einer bestimmten Temperatur einem anziehenden Potential ausgesetzt werden. Die Tatsache, dass sie, sobald die Lücke entsteht, zu bosonischen Cooper-Paaren führen, ist unabhängig von der BCS-Theorie. Ich war verwirrt durch Aussagen wie diese in 1Bezug nehmend auf den effektiven Hamiltonian: "Der zweite Term beschreibt die Zerstörung eines Cooper-Paares (zwei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls und Spin) und die anschließende Erzeugung eines weiteren Cooper-Paares". Nach meinem jetzigen Verständnis sind das keine Cooper-Paare, sondern zwei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls und Spin, die erst beim Entstehen der Lücke, also unterhalb der kritischen Temperatur, zu Cooper-Paaren werden. Kurz gesagt geht es bei BCS darum, wie die Lücke entsteht, nicht darum, was danach passiert. Nicht wahr?
PS2 Zusammenfassung
Mein Verständnis ist jetzt folgendes. Wenn T Tc von oben erreicht und passiert, erscheint ein Pol im Scheitelpunkt auf der Reallinie und wandert in die obere Halbebene, wodurch das System instabil wird (siehe 15.4 und 15.7 in [3]). Dies weist auf Elektronenpaare mit entgegengesetztem Impuls und Spin hin, die spontan im System auftreten. Sie können sie Cooper-Paare nennen, aber BCS sagt uns nicht, dass diese Paare Bosonen sind. Da es in BCS nichts gibt, was die Statistik von Fermi zu Bose ändert, müssen Sie das von Hand eingeben, wie in Artems Bemerkung über die Einführung anomaler Mittelwerte angedeutet und in der Tat in 1 direkt nach (32) durch den Ansatz getan dass der Mittelwert ist nicht null. Es stellt sich dann heraus, dass es oberhalb von Tc keine Cooper-Paare gibt, dh der Ansatz gilt nicht. Ich akzeptiere jetzt Artems Antwort. Nachdem ich über das Problem nachgedacht habe, kann ich mit einer neuen Frage aufwarten.
[3] RD Mattuck, A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, 2. Auflage.
Es ist die Entwurfsversion der Antwort. Es wird aktualisiert (falls erforderlich)
Zuallererst, wenn Sie die Bogoliubov-Transformation durchführen, wählen Sie einfach ein korrektes Vakuum der Theorie. Diese Transformation ändert nichts an der Statistik: Man geht von fermionischen Operatoren aus und führt neue fermionische Operatoren ein. Im Fall von SC modifiziert die anziehende Wechselwirkung zwischen Fermionen das Vakuum der Theorie und wir sollten einen korrekten Leiteroperator finden. Für mich ist Gl. (60) aus 1 beschreibt einfach thermische Mittelwerte von fermionischen Operatoren und für mich ist die Einführung eines neuen fiktiven Teilchens, ''bogolon'', unnötig.
Um zu verstehen, wie Bosonen erscheinen, ist es bequem, das Folgende zu tun. Man geht von der anziehenden 4-Fermion-Wechselwirkung aus und berücksichtigt, dass sich das Vakuum der Theorie verändert. Mit dieser Tatsache sollte man anomale Durchschnitte einführen,
Der Schlüsselpunkt von BCS ist die attraktive Wechselwirkung, daher existieren Cooper-Paare "implizit" in BCS, aber um zu sehen, sollten wir die Mean-Field-Theorie verwenden. Für mich scheint es, dass der Autor in der Beschreibung von Gl. (31). Der Wechselwirkungsbegriff beschreibt (so wie ich es verstehe und ich bin mir sicher, dass es richtig ist) den 4-Fermion-Streuprozess durch Wechselwirkung . Aus diesem Hamiltonoperator können wir die Cooper-Instabilität erkennen (wie zuvor gezeigt wurde). Ich kenne Ihren Hintergrund nicht, aber ich versuche, die Idee für den 2-Teilchen-Prozess zu skizzieren. Um die Instabilität zu sehen, sollte man alle 2-Teilchen-Prozesse (2PI) summieren und die Scheitelpunktfunktion finden . Wie Sie wissen, kann das Auftreten eines Quasiteilchens in einer Theorie bewiesen werden, indem die Existenz des Pols der 1PI (1-Teilchen) Green-Funktion überprüft wird. Für die Scheitelpunktfunktion ist die Idee dieselbe: if einen Pol hat, bedeutet dies, dass es theoretisch einen Zwei-Teilchen-gebundenen Zustand gibt.
In 1 , Gl. (32) meint genau diese Tatsache. Wir verstehen Interaktion nur in dem Sinne, dass sie den Grundzustand der Theorie (Mean-Field-Approximation) und den niedergeschriebenen Ausdruck für modifiziert (es ist nur ein 4-Operator-Durchschnitt). In diesem Ausdruck erscheinen die anomalen Mittelwerte und sie entsprechen Cooper-Paaren. Hoffe, dass es klar ist. Als Referenz können Sie die Kap. 7 von Altland & Simons Buch.
Wenn Sie mit der Green-Funktion vertraut sind, können Sie diese Frage und dies überprüfen
Die BCS-Theorie handelt von gepaarten Fermionen. Also nirgendwo Bosonen, und das Pauli-Ausschlussprinzip wird von der Theorie immer respektiert.
Bei sehr niedrigen Dichten, dh wenn alle Besetzungen viel kleiner als eins sind und somit das Fermi-Ausschlussprinzip sicher ignoriert werden kann, kann gezeigt werden, dass der Operator, der einen Cooper erzeugt, als bosonischer Operator angenähert werden kann. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass BCS --> BEC in der niedrigen (verschwindenden) Dichtegrenze liegt. Dies ist jedoch nur eine Annäherung, die durch Erhöhen der Kupferpaardichte zusammenbricht.
Quilo