Bedeutet notwendige Möglichkeit Wirklichkeit?

Die Folgerung gilt nicht in der Modallogik S5 und damit auch nicht in allen schwächeren normalen Modallogiken (normal in dem Sinne, dass sie das K-Axiom □(A→B) → (□A→□B) validieren ).

Ein (aussagekräftiges) S5-Modell sei ein Paar M = (W, V), wobei W eine nicht leere Menge möglicher Welten und V eine Funktion von Atomen zu Funktionen von W bis {0,1} ist. V kann wie üblich auf die gesamte modale Aussagensprache erweitert werden. Beachte, dass wie üblich V(□A)(w) = 1 genau dann gilt, wenn V(A)(w') = 1 für alle w'∈ W. Sei ⋄A := ¬□¬A und V(A, w) := V(A)(w). Wir nehmen Konsequenz als lokal an: Eine Formel A ist eine S5-Konsequenz irgendeiner Menge von Formeln S (S ⊨ A), wenn für jedes S5-Modell M = (W, V) und jedes w ∈ W gilt: Wenn V(B,w ) = 1, für alle B ∈ S, dann ist V(A, w) = 1.

Das folgende S5-Modell zeigt, dass □⋄p ⊭ p (wenn Sie die Aktualität als Operator nehmen, müssen wir zur zweidimensionalen Modallogik übergehen, aber die Argumentation ist fast dieselbe): M = (W, V) so dass W = {w, w'}, V(p, w) = 0, V(p, w') = 1 und V(q, w) = V(q, w') = 0, falls q ≠ p. Offensichtlich gibt es ein u ∈ W mit V(p, u) = 1. Also ist V(⋄p, w) = V(⋄p, w') = 1. Also ist V(□⋄p, w) = 1. Aber wir haben auch, dass V(p, w) = 0.

Dies ist eine 2D-Variante der bereits vollständigen Antwort von Sequitur. Die Frage ist ob:

1) ▢♢φ |= _L Aφ

gilt für die Modallogik L. Die Antwort hängt davon ab, welche Logik dieses L ist. Wir beschränken unsere Aufmerksamkeit auf die normale Modallogik, wählen die stärkste (S5) unter ihnen aus und sehen, ob (1) in Bezug auf S5 gilt. Wenn (1) in Bezug auf S5 nicht gilt, das heißt, wenn wir es ungültig machen können, dann können wir es in allen normalen Modallogiken ungültig machen, die schwächer als S5 sind (dh Logiken B, S4, T, D und sogar K)! Bevor wir zum Gegenbeispiel kommen, wollen wir die Bedeutung von (1) verstehen. Wir beginnen wie gewohnt mit der zugrunde liegenden Sprache:

Definition 1. (Sprache) Bei einem gegebenen Aussagenbuchstaben 'p' wird die Sprache der modalen Aussagenlogik durch die folgende Grammatik erzeugt:

                                              φ := p | φ′ | ¬φ | (φ∧φ) | □φ | Aφ.

Die Ergänzung zu unserem üblichen Setup hier ist der Aktualitätsoperator A, der uns intuitiv sagt, ob eine Formel in der Welt der Äußerung wahr ist; Um zu sehen, wie es funktioniert, beachten Sie die folgende Semantik.

Definition 2. (Modelle) Ein modales Modell ist ein Tripel M = (W, R, V), wobei W eine Menge 'möglicher Welten' ist, R eine binäre Zugänglichkeitsrelation auf W ist, V eine Funktion aus Aussagebuchstaben und ist Welten zu {0,1}.

Wir haben die Sprache und die Modelle, also müssen wir nur die Sprache in diesen Modellen interpretieren:

Definition 3. (2D-Semantik) Die Wahrheit einer Formel φ der modalen Aussagensprache in einem modalen Modell M = (W, R, V) bei einem Weltenpaar (w,v) ∈ W ² (daher der Name '2D ') ist wie folgt definiert:

1. M, w, v |= p genau dann, wenn V(p, w) = 1;
2. M, w, v |= ¬φ genau dann, wenn ¬(M, w, v |= φ);
3. M, w, v |= φ ∧ ψ genau dann, wenn (M, w, v |= φ) und (M, w, v |= ψ);
4. M, w, v |= □φ genau dann, wenn ∀ _{w′ ∈ W} : wRw′ → M, w′, v |= φ;
5. M, w, v |= Aφ genau dann, wenn M, v, v |= φ.

Das Neue hier ist Klausel (5), die besagt, dass φ im Modell M in einer Bewertungswelt w in Bezug auf eine Äußerungswelt v genau dann wahr ist, wenn φ in M ​​wahr ist, wenn wir es in der Welt v bewerten Für die üblichen Anwendungen in der Sprachphilosophie würden wir Operatoren definieren, um die Welt der Äußerungen zu verschieben, um das Beste aus v herauszuholen, aber für unsere Zwecke hier wird das Obige ausreichend sein. Erinnern Sie sich daran, dass S5 jene modalen Modelle sind, die ein R haben, das eine Äquivalenzrelation ist , was bedeutet, dass alle Welten aufeinander zugreifen können, wodurch der Begriff der Zugänglichkeit effektiv nutzlos wird. Dies erlaubt uns, Klausel (4) zu vereinfachen:

Satz (4) Vereinfachung: M, w, v |= _S5 □φ genau dann, wenn ∀ _{w′ ∈ W} : M, w′, v |= _S5 φ.

Das Kästchen und die Raute sind Duale in dieser Logik, also führen wir die Abkürzung ein: ♢φ ≡ ¬▢¬φ. Jetzt sind wir bereit, (1) in (S5) in diesem 2D-Framework zu entwerten:

Tatsache 4. Für alle L ≤ S5 ist ▢♢φ |= _L Aφ falsch.

Nachweisen. [Sequitur] Folge sei S5-Folge. Wir wollen ein S5-Modell M und ein Weltenpaar (w,v) st M, w, v |= _S5 ▢♢φ aber ¬(M, w, v |= _S5 Aφ) betrachten. Wenn wir die Bedeutungen der ausgefallenen Symbole gemäß (Definition 3) auspacken, verstehen wir, dass (i) es ausreicht, M so zu machen, dass alle seine Welten eine φ-Welt sehen, und (ii) um die Folge zu machen, um den Antezedens wahr zu machen false müssen wir sicherstellen, dass der Kontext der Äußerungs- (oder tatsächlichen) Welt keine φ-Welt ist. Sei φ p und betrachte das Modell M = (W, V), wobei W = {a, b} und V = {(a,p)}. Da p gemäß V bei a wahr ist und da jede Welt jede Welt in W sehen kann, ist der Vordersatz erfüllt, dh M, a, b |= _S5▢♢S. Da aber V (b,p) nicht den Wert 1 zuweist, ist M, b, b |= _S5 p ≡ V(p, b) = 1 verfälscht. Daher gilt (1) nicht in Bezug auf S5 und folglich in Bezug auf alle Logiken zwischen K und S5. ■

                                                               Referenzen ( 2D Semantik )

Davies, M. & L. Humberstone (1980) "Zwei Begriffe der Notwendigkeit", Philosophical Studies 38 : 1–30.
Kamp, H. (1971) "Formale Eigenschaften von 'Jetzt'", Theoria 37 : 237–273.
Kaplan, D. (1989) "Demonstrative", in Themen von Kaplan .

Wenn P tatsächlich wahr ist, ist es in dieser Welt wahr. Wenn P möglicherweise wahr ist, ist es in einer möglichen Welt wahr. Wenn P notwendigerweise wahr ist, ist es in allen Welten wahr. Wenn also etwas notwendigerweise wahr ist, dann ist es in dieser Welt (und in allen anderen) wahr.

Bearbeiten: Wie die Kommentare zeigen, habe ich den Kern Ihrer Frage verpasst. Lassen Sie mich jedoch nur die relevante Zeile hinzufügen:

Wenn P notwendigerweise möglich ist, bedeutet das, dass es für alle Welten gilt, dass es eine mögliche Welt gibt, in der P existiert. Dies bedeutet nicht, dass P in der tatsächlichen Welt wahr ist.

Es ist durchaus möglich, dass ich heute Abend ein Bier trinke. Es gibt mindestens eine mögliche Welt, in der ich heute Abend ein Bier trinke. Und es gilt für alle Welten, dass es diese mögliche Welt gibt, in der ich heute Abend ein Bier trinke. Aber: Ich werde heute Abend kein Bier trinken, um Ihnen zu demonstrieren, dass notwendige Möglichkeit keine Wirklichkeit ist.