Wie unterscheidet sich die Modallogik im Kripke-Stil von der klassischen Aussagenlogik mit zusätzlichen Axiomen?

Ich habe die Semantik möglicher Welten für einfache Formen der Modallogik wie die Kripke-Modallogik betrachtet . Diese Lesart der Modallogik scheint eine Reduktion auf eingeschränkte Wahrheitstabellen zu sein, wobei jede Zeile der Wahrheitstabelle der Wahrheitszuordnung zu Aussagen in (einer oder mehreren) denkbaren Welten entspricht; und die Welten, die wir für möglich halten, sind eine Teilmenge dieser Reihen.

Betrachten Sie einen Satz A und eine Auswahl W möglicher Welten, die einigen bestimmten Zeilen einer Wahrheitstabelle entsprechen. Wir führen auch einen (trivialen) modalen Begriff einer denkbaren Welt ein, der insofern allgemeiner ist als eine "mögliche" Welt, als alle Zeilen der Wahrheitstabelle als denkbare Welten betrachtet werden; und U entspreche der Menge aller denkbaren Welten, die die tatsächlich möglichen Welten als Teilmenge enthält. Der übliche Begriff der Wahrheit von A in einer Welt w ∈  W (oder w ∈  U ) wird dann geschrieben als v(A,w). In dieser Lesart der Modallogik bedeutet □A, dass in allen zulässigen Zeilen A gilt, dh

∀w∈ W : v(A,w)=T ;

und ◊A bedeutet, dass in einer oder mehreren zulässigen Zeilen A gilt, dh

∃w∈ W : v(A,w)=T .

Dies macht sofort klar, warum A⇒□A in der Kripke-Modallogik gültig ist, □A⇒A jedoch nicht; wenn A ein Theorem ist (und unser logisches System korrekt ist), bedeutet dies Folgendes

∀w∈ U : v(A,w)=T ,

das heißt A gilt in allen denkbaren Welten, ohne Einschränkung lediglich auf die möglichen Welten, so dass es eindeutig impliziert, dass ∀w∈W: v(A,w)=T. Also eindeutig A⇒□A; ist gültig. Andererseits ist □A⇒A nicht gültig, da die Wahrheit von A in allen denkbaren Welten (alle Welten in U ) nicht durch seine Wahrheit nur in den möglichen Welten (alle Welten in W  ⊆  U ) impliziert wird.

Frage. Inwiefern ist die Beschränkung auf mögliche Welten in diesem Fall nicht einfach gleichbedeutend mit der Annahme einer ergänzenden Aussageprämisse, die genau in der Menge möglicher Welten wahr ist, sodass □A gleichbedeutend mit W⇒A ist, wobei W in allen möglichen Welten wahr ist und nur die möglichen Welten?

Ich glaube, ich verstehe die Frage, aber ein Teil des Beitrags ist mir nicht klar. (1) Können Sie mir erklären, was das bedeutet: 'A bedeutet, dass der Satz A in allen denkbaren Welten gilt, ohne Einschränkung auf die zur Betrachtung ausgewählten "möglichen" Welten'. Ich habe das Gefühl, dass es etwas anderes anstelle des ersten 'A' geben sollte. Angenommen, wir nennen diesen umfassenderen Begriff der Notwendigkeit „N“ anstelle von „□“. Frage (2): Welche Ihrer Kästchen sind 'N's und welche '□'s?
@HunanRostomyan: Die "breitere Art von Notwendigkeit", auf die Sie sich beziehen, ist einfache Gültigkeit (möglicherweise abhängig von einer Reihe von Axiomen). Ich habe versucht zu erklären, was ich meine. Ich meine wirklich, dass eine „vorstellbare“ Welt ein trivialer Begriff wahrheitsfunktional ist: A ist in allen „vorstellbaren“ Welten genau dann wahr, wenn A gültig ist.
Nur um für Leute, die den SEP-Link nicht gelesen haben, darauf hinzuweisen, dass die Implikation A⇒□Ain K gilt, wenn A ein Theorem ist - nicht im Allgemeinen.
@PaulRoss: Ich nehme an, das ist eine Unterscheidung, die ich gelesen, aber übersehen habe. Würden Sie weiter gehen und sagen, dass Γ⊨A⇒□A genau dann gültig ist, wenn Γ⊨A für die Teilmenge der möglichen Welten gültig ist?
@NieldeBeaudrap, es könnte ein Gegenbeispiel geben, wenn Γ⊨¬Aes gültig wäre, denn dann Γ⊨A⇒P(für jedes P, einschließlich □A) würde es einfach aus der Definition der Bedingung herausfallen.

Antworten (3)

Als erstes müssen wir eine große Schwierigkeit beheben, Sie scheinen Wahrheit und Beweisbarkeit zu verwechseln. A impliziert nicht □A.

Es gibt viel Spielraum für kontingente Wahrheiten im System K – das heißt: es gibt viel Spielraum für den Umgang mit wahren Aussagen A, die wahr sind, aber nicht notwendigerweise wahr sind – die sozusagen zufällig der Fall sind. Dass Nixon zum Beispiel zum Präsidenten gewählt wurde, trifft auf die tatsächliche Welt zu, aber das bedeutet nicht, dass er in allen möglichen Welten zum Präsidenten gewählt wurde.

Jetzt haben wir das auf dem Buckel, warum unterscheidet sich die Modallogik erheblich von der klassischen Logik?

Erstens sind die Modaloperatoren zumindest potenziell sehr weltabhängig (vorausgesetzt, wir schließen keine zusätzlichen Axiome wie S4 ein, die in dem von Ihnen verlinkten SEP-Artikel erwähnt werden). Das heißt: Aus Welten, die aus unserer Sicht möglich sind, können wir möglicherweise andere Welten als möglich sehen, die aus unserer ursprünglichen Sicht nicht möglich waren. Diese Tatsache (die in den Zugangsbeziehungen zwischen den Welten verfolgt wird) bedeutet, dass wir einige zusätzliche Arbeit leisten müssen, um modale Vorschläge zu bewerten und um ein potenzielles Netz von Möglichkeiten herumzujagen.

Zweitens werden die Dinge verrückt, wenn wir Quantoren einführen. Da Notwendigkeit und Möglichkeit selbst eine Art Quantoren sind, könnten wir annehmen, dass sie pendeln, das heißt:

◊∃xA(x) => ∃W∃xv(A(x),W)=T => ∃x.◊A(x)

Aber das ist nicht unbedingt der Fall - das obige Argumentschema würde (grob) zum Beispiel sagen, dass "Es gibt möglicherweise einen Mann in meinem Schrank" impliziert "Es gibt einen Mann, der möglicherweise in meinem Schrank ist", was sehr unterschiedliche Dinge sind ( Letzteres scheint zu implizieren, dass Sie einen bestimmten Typen kennen, der etwas stärker zu sein scheint).

Dieses (ich würde sagen metaphysisch wackelige) Argumentationsschema ist eine logische Folge der Barcan-Formel und hat einige Kontroversen ausgelöst. Wenn wir es jedoch als Axiom einführen, führt das zu einer logischen Gymnastik, die über die der einfachen Deduktion in der Welt hinausgeht.

Die obigen Überlegungen weisen auf den Kern des Unterschieds zwischen modaler und klassischer Logik hin. Kurz gesagt: Abzüge treten nicht nur in Welten auf, sondern auch zwischen ihnen , und das bedeutet, dass seltsame Dinge untergehen ...

"Sie scheinen Wahrheit und Beweisbarkeit zu vermischen" ... aber Ihr Beispiel "Nixon wurde gewählt" ist nicht gültig ; es war zufällig wahr, aber nur, wenn Sie genügend Daten über die Vergangenheit zugeben (die wir als Axiome zugeben könnten), dass sie daraus ableitbar sind. Diese Axiome selektieren für die wirkliche Welt; womit wir natürlich die unbekannte der möglichen Welten meinen, die mit diesen Daten kompatibel sind, die wir bewohnen (in der es möglich ist, dass Nixon am 17. Oktober 1962 ein Schinkensandwich gegessen hat). Unter welchen Umständen ist es ein Theorem, dass Nixon der Präsident war, und ist es unter diesen Axiomen nicht notwendig?
Fahren Sie fort ... Sie beschreiben ein Missverständnis, das ich möglicherweise habe, aber da ich nicht wirklich etwas mit Quantoren zu tun hatte und sie aneinander vorbei pendelte, bin ich mir nicht sicher, woher Sie das haben. Natürlich sollte man bei der wörtlichen Übersetzung zwischen idiomatischer Sprache (z. B. Alltagsenglisch) und formaler Logik vorsichtig sein. Nur weil ich nicht an jemanden im Sinn habe, der in meinem Schrank sein könnte (so etwas wie ein konstruktiver Beweis dafür, dass jemand existiert, der möglicherweise in meinem Schrank ist), heißt das nicht, dass es möglicherweise nicht jemanden gibt, der möglicherweise in meinem Schrank sein könnte mein Kleiderschrank.
Vielleicht ist die einzige relevante Sache in Ihrer Antwort, die auf den Punkt meiner Frage kommt, "Abzüge treten nicht nur in Welten auf, sondern zwischen ihnen". Dies impliziert, dass eine klassische logische Deduktion innerhalb einer Welt stattfindet. Nun ... könnten Sie tatsächlich ein Beispiel dafür präsentieren und wie es sich auf Versuche auswirkt, es mit Teilmengen der Zeilen von Wahrheitstabellen zu interpretieren? Ich kann sehen, dass ◊A⇒B eine Wechselwirkung ist (eine Bootstrapping-Inferenz von einer Welt in alle), aber wie würde man dies ableiten, außer durch Axiome, die auch A⇒B implizieren würden?
Ich möchte betonen, dass überhaupt nicht klar ist, wie sich ∃◊ formal von ◊∃ in Bezug auf die Gültigkeit unterscheidet. Sei Cx"x ist in meinem Schrank". Dann ◊∃xCxbedeutet, dass es eine Welt gibt, in der Cpfür einige p, so das ◊Cpund so ∃x◊Cx. Umgekehrt, wenn ∃x◊Cxdann ◊Cpfür einige p, so dass in irgendeiner Welt Cp; dann in irgendeiner Welt ∃xCxdamit ◊∃xCx. Es scheint, dass die beiden äquivalent sind, es sei denn, man hat strengere Regeln für die existenzielle (und possibilistische) Verallgemeinerung, wie es die Konstruktivisten tun. Wie verhält sich Ihr warnendes Wort dann zur möglichen Weltsemantik wie in der SEP?

Bezugnehmend auf die Wikipedia-Seite zur Kripke-Semantik (mit geringfügigen Änderungen der Notation):

Ein Kripke-Rahmen oder modaler Rahmen ist ein Paar ( W , R), wobei W eine nicht leere Menge und R eine binäre Beziehung auf W ist. Elemente von W werden Knoten oder Welten genannt, und R ist als Zugänglichkeitsbeziehung bekannt .

Ein Kripke-Modell ist ein Tripel ( W ,R,|⊢), wobei ( W ,R) ein Kripke-Rahmen und |⊢ eine Beziehung zwischen Knoten von W und modalen Formeln ist, so dass:

  • w |⊢ ¬A genau dann, wenn ¬(w |⊢ A);
  • w |⊢ A ⇒ B genau dann, wenn ¬(w |⊢ A) oder (w |⊢ B);
  • w |⊢ □A genau dann, wenn (u |⊢ A) für alle u mit wRu.

Eine Formel A gilt [in einem] Modell ( W ,R,|⊢), wenn w |⊢ A für alle w ∈ W [...] .

Der Begriff einer Welt kann sich also grundsätzlich von einer einzelnen Zeile einer Wahrheitstabelle oder einer Reihe von Zeilen einer Wahrheitstabelle unterscheiden. Das erste Axiom würde sicherlich für eine einzelne Zeile einer Wahrheitstabelle gelten, ist aber für mehrere Zeilen einer Wahrheitstabelle nicht sehr sinnvoll; Umgekehrt bedeutet die Tatsache, dass Notwendigkeit in Bezug auf weitere Welten definiert wird, auf die von einer einzigen Welt aus zugegriffen werden kann, dass es keinen Sinn macht, eine Welt in Bezug auf eine einzelne Zeile einer Wahrheitstabelle zu behandeln, es sei denn, man ist erfreut, einen der beiden Begriffe zu sehen „Notwendigkeit“ oder der Begriff „Zugänglichkeit“ trivialisieren.

Auf der Wikipedia-Seite werden verschiedene mögliche Eigenschaften aufgeführt, die die Zugänglichkeitsbeziehung haben kann, darunter:

A ⇒ □A [was äquivalent ist zu] wRv ⇒ w=v

das heißt, wenn A ⇒ □A für alle A gilt (und nicht nur zB wenn A ein Theorem oder eine andere gültige Proposition ist), dann trivialisiert sich die Zugänglichkeitsrelation , so dass w | ⊢ □A genau dann, wenn w |⊢ A. Dann können Zeilen von Wahrheitstabellen ein Kripke-Modell liefern, und jede Menge W möglicher Welten, die in endlich vielen Symbolen ausgedrückt werden kann, kann dadurch durch eine Aussage W gekapselt werden, die genau in der Menge von wahr ist alle möglichen Welten, so dass ⊨ □A genau dann, wenn W ⊨ A.

Kurz gesagt, im Gegensatz zu dem, was der SEP-Abschnitt über mögliche Weltsemantik glauben machen mag, gibt es eine größere Vielfalt von Modellen für die Kripke-Modallogik, als Reihen von Wahrheitstabellen direkt zulassen; und dass in jenen Modellen, in denen Welten Reihen von Wahrheitstabellen sind, die Semantik von □A sehr langweilig ist, wenn es um die Gültigkeit relativ zu einer Menge von Prämissen geht. (Andererseits gelten diese pessimistischen Bemerkungen nicht so eindeutig für ¬□A, also für Sätze der Form ◊B, da es keinem Satz entspricht, der in allen solchen Zeilen der Wahrheitstabelle gilt.)

Übrigens würde ich mich freuen, wenn jemand eine bessere Antwort als diese geben würde, die wirklich eine reichhaltigere und interessantere Konstruktion eines Kripke-Modells aufweisen könnte, um die Einschränkungen entweder des Semantikabschnitts des SEP-Artikels oder meines Verständnisses davon zu veranschaulichen Sektion.
Ein Teil meines Problems besteht darin, dass ich mich für Logik als ein Werkzeug interessiere, das nicht nur dazu dient, die Wahrheit zu beschreiben, sondern auch darauf zu schließen. Ich kann keine Referenzen finden, die zwischen "Es ist wahr, dass Nixon der Präsident war, aber nicht unbedingt wahr" (in dem kein Atemzug darüber gemacht wird, welche Prämissen gewährt werden oder was der Raum möglicher Welten ist) und total sind Abstraktion auf der Ebene der Beschreibung verschiedener möglicher Eigenschaften der Erreichbarkeitsrelation. Ich schreibe meine eigene Antwort nur, weil ich wünschte, jemand würde eine bessere Darstellung schreiben, aber ich werde dies tun, wenn es sonst niemand tut.
@ThomasKlimpel: Ich habe die Antwort im Wesentlichen überarbeitet, um den umstrittensten Absatz auf einen Satz in der Coda der Schlussfolgerung zu reduzieren. Natürlich haben Sie vielleicht das Gefühl, dass ich die Modallogik im Allgemeinen immer noch verstehe, und Sie hätten Recht. Wenn Sie Empfehlungen haben, wie Sie die Antwort für jemanden verbessern können, dessen Prioritäten dazu neigen, auf Gültigkeit / Möglichkeit / Notwendigkeit zu schließen (z. B. anstatt nur zu versuchen, herkömmliche informelle Bedeutungen durch Transliteration englischer Wörter in Kästchen und Rauten darzustellen), frage ich erneut Sie, die Antwort zu verbessern oder eine andere zu schreiben.

Die Modallogik ist für mich nützlich, weil ich damit die dynamischen Aspekte von den statischen Aspekten mathematischer Modelle besser trennen kann.

Lassen Sie mich versuchen, dies im Kontext der universellen Algebra zu veranschaulichen . Hier beginnen wir grundsätzlich mit einer Sammlung von Operationen über einer Menge und interessieren uns für Gleichungen, die diese Operationen verwenden. (Für meine Zwecke hier kann die universelle Algebra als eine sehr begrenzte Teilmenge der Prädikatenlogik betrachtet werden). Die Gleichungen enthalten Variablen, und wir möchten vielleicht die Gültigkeit einer Gleichung für bestimmte Werte der Variablen von der Gültigkeit einer Gleichung für jede mögliche Zuordnung von Werten zu den Variablen unterscheiden. Eine Gleichung A ist notwendigerweise gültig, wenn sie für jede mögliche Zuordnung von Werten gilt, die wir in der Modallogik mit □A bezeichnen würden. Davon zu unterscheiden ist die Gültigkeit der Gleichung für eine bestimmte Wertezuordnung.

Im obigen Beispiel erfüllt der Operator □ die Axiome des Modallogiksystems S5 . Die in der Frage gegebene Beschreibung der Mögliche-Welt-Semantik ist die für S5 , aber dies kann Teil der Verwirrung sein (da die Frage S5 im Gegensatz zum SEP-Artikel nie explizit erwähnt). Die Frage erwähnt die Kripke-Modallogik, die als Verweis auf das System K interpretiert werden könnte . Um den Unterschied zwischen verschiedenen modalen Systemen zu verdeutlichen, ändere ich nun das obige Beispiel so ab, dass der Operator □ nicht mehr zum System S5 gehört , sondern nur noch zum System S4 .

Wir möchten vielleicht Parameter zusätzlich zu Variablen berücksichtigen. Wir können jede Variable in einen Parameter umwandeln, indem wir einfach angeben, dass wir sie wie einen Parameter statt wie eine Variable behandeln wollen. Fügen wir also unserer Wertzuweisung an die Variablen die Information hinzu, welche Variablen als Parameter betrachtet werden sollen. Die Bedeutung von □A ist nun so eingeschränkt, dass die Parameter fest gehalten werden. Um die Bedeutung von □□A und □¬□A zu definieren, erlauben wir, dass eine Variable in einen Parameter "umgewandelt" werden kann, aber ein Parameter kann nicht wieder in eine Variable umgewandelt werden.

Die universelle Algebra verwendet normalerweise keine Modallogik. Wie funktioniert sie also um dies herum? Wie hängt das mit dem zusammen, was ich „statische und dynamische Aspekte mathematischer Modelle“ genannt habe? Eine Möglichkeit, Parameter zu behandeln, besteht darin, der nicht-logischen Sprache für jeden Parameter ein zusätzliches konstantes Symbol (0-stellige Funktion) hinzuzufügen. Der Nachteil ist, dass dies das System, das wir untersuchen möchten, modifiziert, aber ich würde es vielleicht vorziehen, unser Modell "statisch" zu halten. Wir könnten unserer nicht-logischen Sprache eine ausreichend große Anzahl konstanter Symbole hinzufügen, sodass wir immer ein Ersatzsymbol haben, wenn wir einen zusätzlichen Parameter benötigen. Also ja, in der Praxis können Sie wahrscheinlich Problemumgehungen finden, um Modallogik zu vermeiden, aber es hängt ein wenig von den Fragen ab, denen Sie nachgehen möchten, ob dies eine gute Idee ist oder nicht.

Wie unterscheidet sich die Modallogik im Kripke-Stil von der klassischen Aussagenlogik mit zusätzlichen Axiomen?
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