Gibt es eine intrinsische, verborgene Modallogik in gewöhnlichen (abstrakten) Booleschen Algebren?
Ich stelle nicht in Frage, ob innere oder abgeschlossene Algebren Boolesche Algebren sind. Ich suche auch nicht nach einer Erklärung dafür, was Modallogik ist oder tut. Meine Frage ist eher durch die Beobachtung motiviert, dass die Wahrscheinlichkeit (eindeutig ein modales Konzept) auf einer nicht-modalen Algebra (einer gewöhnlichen Booleschen Algebra, die die algebraische Semantik des klassischen zweiwertigen Aussagenkalküls bildet) definiert ist.
Vielleicht liegt es einfach daran, dass innere oder Abschlussalgebren nicht erforderlich sind. Schließlich brauchen sich Mathematiker nicht um die philosophische Natur der Wahrscheinlichkeit zu kümmern. Oder liegt es vielleicht daran, dass die Verwendung (zB) einer Abschlussalgebra mehr Unannehmlichkeiten als Vorteile bringen würde, wenn es um die Entwicklung der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie geht? Oder liegt es vielleicht daran, dass es bereits eine (verborgene) Modalität gibt, die in gewöhnliche Boolesche Algebren eingebettet ist (vielleicht noch zu entdecken)?
Ich glaube nicht, dass es in der gewöhnlichen Logik eine versteckte Modallogik gibt. Die Modallogik erfordert die Einführung eines neuen Operators (und basiert daher auf gewöhnlicher Logik, unterscheidet sich jedoch von dieser), ebenso wie Wahrscheinlichkeiten die Einführung eines Maßes erfordern, das mit Sätzen durch neue Axiome verbunden ist. Die Modallogik kann höchstens durch die Annahme von $ \Box p \eq p $ in gewöhnliche Logik trivialisiert werden. In ähnlicher Weise können Wahrscheinlichkeiten in gewöhnliche Logik trivialisiert werden, indem angenommen wird, dass sie nur zwei Werte (0 oder 1) annehmen können.
Wahrscheinlichkeit ist ein modales Konzept, aber ich weiß nicht, ob es mit Modallogik dargestellt werden kann, weil Sie ein Maß für mögliche Welten benötigen würden, während Modallogik nur eine Zugänglichkeitsbeziehung hat (etwas ist möglich oder nicht, nicht "mehr oder weniger möglich").
Schließlich hängt der modale Aspekt von Wahrscheinlichkeiten von der Interpretation ab. Zum Beispiel benötigen frequentistische Interpretationen keine möglichen Welten und modalen Konzepte: Wahrscheinlichkeiten sind nur ein Verhältnis zwischen einer Anzahl von Ereignissen eines Typs und einer Referenzklasse.
Sie können sich Wahrscheinlichkeitsrechnung und innere Algebra als mathematische Maschinerie vorstellen. Die modale Interpretation kommt danach.
Beachten Sie, dass Modallogik in der Beweistheorie (die mit Logik verwandt ist) verwendet werden kann, aber ich glaube nicht, dass Sie danach gesucht haben.
Mauro ALLEGRANZA