Bedeutung der Dipolnäherung für Auswahlregeln

Mir scheint, Sie haben eine Reihe von Fragen gestellt. Sie haben gefragt, warum der elektrische Dipolübergang oft die einzige Wechselwirkung ist, an der wir interessiert sind, während alle anderen Terme, die höheren Multipolmomenten entsprechen, ignoriert werden. Sie haben auch (effektiv) gefragt, was der Kleinheitsparameter ist, der diese Wahl rechtfertigt. Ich glaube, der beste Weg, sie zu beantworten, besteht darin, die Ableitung verschiedener Terme der Beiträge zur Wechselwirkung zwischen einem Atom und einem Strahlungsfeld durchzugehen. Ich werde einige Details weglassen, um einen klaren Umriss der Argumentation zu präsentieren. Meine Ableitungen hier beziehen sich hauptsächlich auf Cohen-Tannoudjis Quantum Mechanics Vol. 2, Ergänzung A13.

Der Hamiltonoperator eines Elektrons in einem durch Vektorpotential beschriebenen elektromagnetischen Feld$\mathbf A(\mathbf r, t)$und Skalarpotential$q\phi(\mathbf r, t)$Ist

$$H = \frac{1}{2m} [\mathbf p - q \mathbf A(\mathbf r, t)]^2 + q\phi(\mathbf r, t)- \frac{q\hbar}{2m} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla\times \mathbf A (\mathbf r, t) \>.$$ Wir können es erweitern in $$H(t) = \frac{\mathbf p^2}{2m} + q\phi(\mathbf r, t)- \frac{q}{m}\mathbf p \cdot \mathbf A - \frac{q\hbar}{2m} \boldsymbol \sigma\cdot \nabla\times \mathbf A + \frac{q^2}{2m} \mathbf A^2 \>.$$ Der letzte Term kann für gewöhnliche Lichtquellen vernachlässigt werden, da die Intensität ausreichend gering ist. Nennen Sie den dritten Term $W_1$und der vierte Begriff $W_2$. Wir können jetzt behandeln $W_1 +W_2$als Störung des atomaren Hamilton-Operators (der erste und zweite Term) und analysieren Sie ihn, indem Sie versuchen, ihn in Bezug auf einen Kleinheitsparameter zu erweitern.

Unter der Annahme, dass wir es mit ebenen Wellen zu tun haben, die in einer Richtung polarisiert sind, können wir die Größe der Terme abschätzen und vergleichen$W_1$Und$W_2$,

$$\frac{W_2}{W_1} \simeq \frac{\frac{q}{m}\hbar |\mathbf k| \mathcal A_0}{\frac{q}{m}p \mathcal A_0} = \frac{\hbar |\mathbf k|}{p} \>,$$ Wo $\mathcal A_0$ist die Amplitude des Vektorpotentialfeldes, $\mathbf k$sein Wellenvektor und $p$der Impuls des Elektrons. Seit $\hbar/p$höchstens in der Größenordnung der Atomgröße liegt, die auf der Skala des Bohr-Radius liegt $a_0$, Und $|\mathbf k| = 2\pi/\lambda$, Wo $\lambda$typischerweise viel größer als die Größe des Atoms, dieses Verhältnis $W_2/W_1$handelt von $a_0 /\lambda$, was sehr klein ist. Dies ist eine gute Begründung für das Ignorieren $W_2$wenn wir die Berechnung in der nullten Ordnung durchführen $a_0/\lambda$, was der Ausgangspunkt vieler Analysen ist, die Sie in Büchern oder online finden können und die nur versuchen, den Hamilton-Operator des elektrischen Dipols zu erhalten. Damit geben wir uns aber nicht zufrieden, also werden wir einen Vollausbau vornehmen.

Beide$W_1$Und$W_2$einen Exponentialfaktor enthalten$e^{\pm i\mathbf k\cdot \mathbf r}$als räumliche Abhängigkeit von$\mathbf A(\mathbf r, t)$. Wir können es dann in Potenzen erweitern$\mathbf k\cdot \mathbf r$. Beachten Sie das noch einmal$|\mathbf k| = 2\pi/\lambda$, Und$\mathbf r$ist in der Größenordnung der Größe des Atoms, also ist dies in der gleichen Größenordnung wie$W_2/W_1$. Also, wenn wir expandieren$W_1$hinein$W_1^0 + W_2^1 + \dots$Und$W_2$hinein$W_2^0 + W_2^1 + \dots$, finden wir das bis zur nullten Ordnung von$\mathbf k \cdot \mathbf r$, wir haben$W_1^0$, und auf die erste Bestellung, die wir haben$W_1^1 + W_2^0$usw.

Die Form der entsprechenden Begriffe sind$W_1^0 = \frac{q}{m} \mathbf p \cdot \partial_t \mathbf E(\mathbf r, t) = - q \mathbf r \cdot \mathbf E(\mathbf r, t)$(Es braucht ein wenig Arbeit, um zu zeigen, dass diese beiden Formen äquivalent sind, und ich lasse das von Cohen-Tannoudji für mich tun.) Dies ist der Begriff des elektrischen Dipols. Zur nächsten Ordnung gehört der magnetische Dipolterm$W_2^0 = - \frac{q}{m}(\mathbf L + 2 \mathbf S)\cdot \mathbf B(\mathbf r, t)$, und der elektrische Quadrupolterm ist$W_1^1 = - \frac{q}{m} \mathbf r\mathbf r\colon \nabla\mathbf E$, Wo$\colon$stellt die doppelte Kontraktion zwischen dem Quadrupolmomenttensor und dem Gradienten des elektrischen Feldes dar. Diese Terme werden mit den elektrischen und magnetischen Multipolmomenten bezeichnet, da in ihnen die jeweiligen Multipolmomentoperatoren vorkommen. Zur Ableitung der Multipolmomentoperatoren siehe wieder Komplement E10 von Cohen-Tannoudji.

Jetzt haben wir veranschaulicht, woher jeder der Begriffe stammt, und was noch wichtiger ist, wie sich ihre Größenordnungen vergleichen lassen. Die Antwort auf Ihre Frage, warum elektrische Dipolübergänge im Vordergrund stehen, ist einfach, dass der Hamilton-Operator für den elektrischen Dipol-Übergang viel größer ist als der magnetische Dipol-Hamilton-Operator, ebenso wie Übergänge, die höheren Multipolmomenten entsprechen.

Als letzte Bemerkung haben Sie in Ihrer Frage beschrieben, was Sie über die Multipolexpansion in der klassischen Elektrodynamik wussten, aber Sie haben beschrieben, wie die Dinge im Fernfeldbereich funktionieren, wo die Frequenz hoch ist und wir uns für die Strahlung weit von der Quelle interessieren , oder$\mathbf k \cdot \mathbf r \gg 1$. Bei dem, was wir hier diskutieren, arbeiten wir an der entgegengesetzten Grenze, wo$\mathbf k \cdot \mathbf r \ll 1$. Genauer gesagt untersuchen wir jedoch nicht die Strahlung einer Quelle, sondern wie Strahlung mit dem Atom interagiert, sodass die Situationen nicht genau vergleichbar sind. Weitere Informationen zu Annäherungen an Fern- und Nahfelder und Multipolfelder finden Sie in Kapitel 9 von Jacksons Elektrodynamik.