Bedingung für geschlossene Bahnen

Question

Bedingung für geschlossene Bahnen

David Leonardo Ramos

Ich arbeite an einem zentralen Kraftproblem, in dem das Potenzial liegt
$U (R) = - \frac{a}{R} (1 + \frac{β}{R})$ $U(r)=-\frac{\alpha}{r}\left( 1+ \frac{\beta}{r} \right)$ Ich werde gefragt, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit der Orbit geschlossen wird.

Ich bin mir bewusst, dass der Satz von Bertrand darauf hindeutet, dass die Form des Potenzials geschlossene Umlaufbahnen zulässt, und in anderen Büchern wie dem von Marion haben sie eine Bedingung, die wie folgt lautet:

Δ ϕ = 2 \int_{R_{M ich N}}^{R_{M A X}} \frac{\frac{L}{R^{2}} D R}{\sqrt{2 μ [E - \frac{L^{2}}{2 μ R^{2}} + \frac{a}{R} (1 + \frac{β}{R})]}} = 2 π \frac{A}{B}

$\Delta{\phi}=2\int_{ r_{min}}^{r_{max}}\frac{\frac{L}{r^{2}}\text{d}r}{\sqrt{2\mu \left[E-\frac{L^{2}}{2\mu r^{2}}+\frac{\alpha}{r}\left(1+\frac{\beta}{r}\right) \right]}}=2\pi\frac{a}{b}$ mit

a

$a$ Und

b

$b$ natürliche Zahlen sein.

Ich habe bereits die Bedingung, nach der ich gefragt werde ( Es ist keine Hausaufgabe ). Aber ich verstehe nicht wo das $\frac{a}{b}$ rational sein zu müssen kommt von. Ist das eine geometrische Argumentation? Hat das mit dem Satz von Bertrand zu tun? Es sieht ein bisschen aus wie Lissajous-Kurven und es kann etwas Einfaches sein, das ich nicht kenne.

ZeroTheHero

Ihre Frage ist nicht klar. Ist das Problem die Interpretation des Verhältnisses

a / b

$a/b$ ?

David Leonardo Ramos

Ja genau. Lassen Sie mich die Frage bearbeiten

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Bedingung für geschlossene Bahnen

Ihre Frage ist nicht klar. Ist das Problem die Interpretation des Verhältnisses $a/b$ ?

ZeroTheHero · Answer 1

Die Umlaufbahn ist in 2d und „pendelt“ zwischen einem Minimum und einem Maximum $r$ . Die Position in der Ebene, wenn gegeben durch $(r(t),\phi(t))$ Aber hier $t$ wurde eliminiert und Sie haben $r(\phi)$ .

Da gehst du erst einmal aus $r_{min}$ Zu $r_{max}(\phi)$ , wird der Körper entlang der Umlaufbahn um einen Winkelabstand vorrücken $\Delta \phi$ . Wie gehst du aus $r_{min}$ Zu $r_{max}$ und zurück zu $r_{min}$ , rücken Sie um einen Winkel vor $2\Delta \phi$ .

Um eine geschlossene Umlaufbahn zu erhalten, müssen Sie schließlich zu Ihrem Ausgangspunkt zurückkehren, was bedeutet, dass Sie eine ganze Zahl bilden müssen $b$ von Reisen zwischen $r_{min}$ Und $r_{max}$ beim Vorrücken um ein ganzzahliges Vielfaches $a$ von $2\pi$ . Dies ist der geometrische Ursprung der $2\pi a/b$ Faktor.

Bearbeiten: Als Antwort auf einen Kommentar werden unten zwei Situationen dargestellt. In beiden Fällen $r_{min}=1$ Und $r_{max}=3$ , und diese Werte werden als rote dicke Linien angezeigt. Diese Werte beschränken die Umlaufbahnen auf einen Ring mit Innenradius $1$ und Außenradius $3$ . Der Radius pendelt dazwischen $1$ Und $3$ mit einiger Frequenz $\omega_r$ , wie durch die schwarzen Linien in den Figuren zu sehen ist.

Die parametrischen Gleichungen für die Figuren links und rechts lauten jeweils

R (ϕ) = 2 + \cos (\sqrt{3} ϕ), Und R (ϕ) = 2 + \cos (ϕ)

$r(\phi)=2+\cos\left(\sqrt{3}\phi\right)\, ,\qquad \hbox{and}\qquad r(\phi)=2+\cos\left(\phi\right)$
Im ersten Fall das Verhältnis

ω_{ϕ} / ω_{r}

$\omega_\phi/\omega_r$ ist da nicht angemessen

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ ist irrational, und die Umlaufbahn schließt sich nicht. Der beste Weg, dies zu sehen, besteht darin, zu beachten, dass der Beginn der parametrischen Kurve bei ist

r = 3, ϕ = 0

$r=3,\phi=0$ aber am Ende der Kurve

r \neq 3

$r\ne 3$ . Denn das Verhältnis

ω_{ϕ} / ω_{r}

$\omega_\phi/\omega_r$ irrational ist, würde die Umlaufbahn schließlich den Ring dicht füllen.

Im zweiten Fall hingegen das Verhältnis $\omega_\phi/\omega_r$ ist angemessen, und man kann zeigen (wenn wir der Kurve durch ihre folgen $\phi$ Evolution), von der es tatsächlich ausgeht $r_{min}\to r_{max}\to r_{min}$ genau einmal wann $\phi$ geht von $0\to 2\pi$ .

@DavidLeonardoRamos, es gibt eine einfachere Anforderung für eine geschlossene Umlaufbahn. Basierend auf der Art und Weise, wie Gravitationspotentialenergie definiert ist, tritt eine geschlossene Umlaufbahn auf, wenn $U(r)<0$ .
Wie ist das? Du meinst, immer negativ zu sein? Ich sehe es nicht klar.
@DavidWhite Ich denke, Sie missverstehen die Frage: geschlossen wie beim Schließen auf sich selbst in 2d.
Ich denke, er meint damit nicht, dass die Umlaufbahn dadurch begrenzt ist $r_{min}, r_{max}$
@DavidWhite Meine Antwort nach Ihrem Kommentar bearbeitet. Hoffentlich reicht das.
@ZeroTheHero, danke. Der Titel des Beitrags war so kurz, dass ich die Frage des OP offensichtlich falsch interpretiert habe.
@DavidWhite Richtig. Was mich auf die richtige Spur gebracht hat, war der Ausdruck für $\Delta \phi$ . Wie auch immer, ich denke, Ihr Kommentar hat mich dazu gebracht, meine Antwort zu verbessern (ich würde hoffen).

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