Beispiele für Matrixproduktzustände

Matrixproduktzustände (MPS) sind eine Möglichkeit, eine (Vielteilchen-)Wellenfunktion darzustellen. Das Verfahren ist beispielsweise beschrieben in

Die Dichtematrix-Renormalisierungsgruppe im Zeitalter der Matrixproduktzustände. U. Schollwöck. Ann. Phys 326 , 96 (2011) , arXiv:1008.3477 .

Aber wäre es möglich, ein konkretes Beispiel für ein kleines System zu sehen? Wie sieht die MPS für die folgenden beiden Fälle aus?

  1. Ein Zwei-Spin-System: 1 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ )
  2. Für ein Drei-Spin-System: 1 2 ( | ↑↑↑ ⟩ + | ↓↓↓ ⟩ )

Antworten (1)

Sie können sich ein MPS als aus Objekten mit drei Indizes aufgebaut vorstellen. Wie kann man ein solches Objekt einfach darstellen? Wir können uns dies als eine Matrix vorstellen, in der jeder Eintrag ein Vektor ist (insbesondere wird der Vektor ein Vektor im Hilbert-Raum vor Ort sein, also hat er beispielsweise für ein Spin-1/2-System die Form a | ↑ ⟩ + β | ↓ ⟩ ).

Für eine Kette, bei der der Hilbert-Raum vor Ort ein Spin 1/2 ist, wird jedem Standort ein solches Objekt wie folgt zugeordnet:

A = ( a 11 | ↑ ⟩ + β 11 | ↓ ⟩ a 12 | ↑ ⟩ + β 12 | ↓ ⟩ ⋯ a 21 | ↑ ⟩ + β 21 | ↓ ⟩ a 22 | ↑ ⟩ + β 22 | ↓ ⟩ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ )

Wenn es sich um ein translationsinvariantes System handelt, können wir haben, dass jeder Standort dasselbe hat A damit verbunden. Der physikalische Zustand unseres Systems ergibt sich dann aus der Multiplikation all dieser A Matrizen (wobei wir die Matrixelemente über die Tensorproduktstruktur ‚multiplizieren‘), genauer gesagt:

| ψ ⟩ = Tr ( A N )
wobei wir periodische Randbedingungen angenommen haben. Hier N ist die Anzahl der Standorte. Beachten Sie, dass dieses Objekt jetzt ein reiner Vektor im Tensorprodukt der Hilbert-Räume vor Ort ist. Also zum Beispiel im einfachen Fall das
A = ( | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ )
Dann
A N = ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | ↓ ⟩ )
Mit periodischen Randbedingungen erhalten wir also den Katzenzustand | ψ ⟩ = | ↑ ⋯ ↑ ⟩ + | ↓ ⋯ ↓ ⟩ .

Das beantwortet Ihre (ii). Ich lasse (i) als Übung ;)

Hier ist eine systematischere Methode, aber umständlicher. So würde es ein Computer machen: physical.stackexchange.com/questions/251522/…
Vielen Dank für die Antwort :) Ausgehend von Ihrem Kommentar sollte die Lösung für (i) meiner Meinung nach lauten 2 × 2 Matrix mit Elementen ( 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 ) .
Basierend auf dem Link, den Sie geteilt haben, scheint die Lösung die zu sein, die ich in meinem obigen Kommentar erwähnt hatte. Wenn ich über dieselbe Lösung nachdenke, wie Sie sie in der ausführlichen Antwort hier erwähnt haben, sollte es eine geben A Matrix, die jedem Standort entspricht, und daher sollte der MPS-Zustand ein Tensorprodukt zweier Matrizen sein. Sollten diese sein,
| Ψ ⟩ = T R ( A 1 A 2 )
Wo A 1 = [ | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ ] Und A 2 = [ | ↓ ⟩ 0 0 | ↑ ⟩ ] ? Danke.
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