Ich lese derzeit einige Artikel zu der Frage, warum die Methode der Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) gut für die Simulation eindimensionaler Systeme und schlecht für höherdimensionale Systeme funktioniert. Üblicherweise wird in der Literatur behauptet, dass bestimmte Zustände, die durch DMRG erzeugt werden, die Matrixproduktzustände, die einem "entropischen Flächengesetz" genügen, in einer Dimension und nicht in höheren Dimensionen simulierbar sind.
Soweit ich weiß, bedeutet die Einhaltung eines "entropischen Flächengesetzes", dass die Verschränkungsentropie eines reduzierten Subsystems proportional zur Grenze des Subsystems und nicht zum Volumen des Subsystems ist. Es ist mir unklar, warum dies eine vernünftige Annahme ist.
Ich kenne einen großen Übersichtsartikel zu diesem Thema ( http://arxiv.org/abs/0808.3773 ). Leider wird gerade bei den Matrixproduktzuständen gesagt, dass das Entropieflächengesetz trivialerweise aus der Definition folgt, aber dem kann ich nicht folgen. Was die anderen Beispiele im Artikel betrifft, bin ich etwas überwältigt und finde es schwierig zu erkennen, was sie gemeinsam haben und wo die Unterschiede liegen.
Welche Staaten haben ein Entropieflächengesetz und, was noch wichtiger ist, warum weisen sie es auf?
Genauer gesagt, warum weist der Grundzustand eines Matrixproduktzustands die Eigenschaft auf, während andere Zustände dies nicht tun (ich habe gelesen, dass Matrixproduktzustände dies tun, aber ich verstehe nicht warum)?
PS:
Ich bin auch dankbar für Gegenbeispiele, die dabei helfen könnten, den qualitativen Unterschied zwischen Staaten, die das Gesetz erfüllen, und Staaten, die es nicht erfüllen, zu veranschaulichen.
Sie stellen ziemlich viele Fragen, also lassen Sie mich versuchen, Schritt für Schritt vorzugehen.
Erstens ist ein Flächengesetz eine ganz besondere Eigenschaft unter den Quantenzuständen: Wenn Sie einen zufälligen Zustand auswählen, wird er fast maximale Entropie haben (dh eher eine Volumenskalierung als eine Flächenskalierung). Im Grunde wäre also jeder Staat ein Gegenbeispiel ;-)
Andererseits haben in der Natur vorkommende Grundzustände typischerweise eine sehr geringe Verschränkung, die wie die Fläche skaliert (möglicherweise mit einer gewissen logarithmischen Korrektur). Intuitiv kann man dies dadurch verstehen, dass das System versucht, die Energie der lokalen Hamiltonschen Terme zu minimieren, indem es lokale Verschränkung erzeugt. (Obwohl dies nicht streng und nicht ganz richtig ist.)
Am wichtigsten ist, dass ein Flächengesetz von Hastings für Grundzustände von lückenhaften eindimensionalen Hamiltonianern rigoros bewiesen wurde (Dieses Ergebnis wurde seit verbessert , und es wurde gezeigt, dass ein Flächengesetz auch durch exponentiell abfallende Korrelationen impliziert wird .) Während dies der Fall ist Es wird angenommen, dass dies auch für viele lückenlose Systeme gilt (bis zu einer Korrektur). Es gibt Beispiele , die lückenlos sind und eine Entropie aufweisen, die algebraisch mit der Blockgröße skaliert. Es wird angenommen, dass ähnliche Dinge in 2D zutreffen, aber es gibt keinen strengen Beweis.
Warum erfüllen Matrix Product States (MPS) schließlich das Gebietsgesetz? Betrachten Sie zunächst den Zweiparteienstaat
Lassen Sie mich abschließend anmerken, dass ein wichtiger Punkt, warum das Flächengesetz interessant ist, darin besteht, dass Zustände, die ein Flächengesetz erfüllen, effizient durch MPS approximiert (und somit mit DMRG simuliert) werden können.
ckrk