Zustand der Matrixproduktzustände

Was ist eine gute Zusammenfassung der Ergebnisse über die Übereinstimmung zwischen Matrixproduktzuständen (MPS) oder projizierten verschränkten Paarzuständen (PEPS) und den Grundzuständen lokaler Hamiltonoperatoren? Welche "wenn und nur wenn" Art von Gleichheit/Annäherung gilt insbesondere?

Ich weiß von diesem Review-ähnlichen Artikel von Verstraete, Cirac und Murg, aber ich habe das Gefühl, dass einige seiner Ergebnisse durch neue ersetzt werden ...

Antworten (1)

Eine kurze Zusammenfassung der Beziehung zwischen MPS/PEPS und lokalen Hamiltonianern im Grundzustand:

Zuerst die Richtung von MPS/PEPS zu Hamiltonians:

  • Jedes MPS/PEPS erscheint natürlich als exakter Grundzustand eines frustrationsfreien lokalen Hamiltonoperators. ("Eltern Hamiltonian")

  • Für generisches MPS/PEPS wird dieser Grundzustand einzigartig sein.

  • Es gibt eine Reihe von Fällen, die über den allgemeinen Fall hinausgehen und Aussagen über die Grundzustandsentartung machen können. Insbesondere für translationsinvariante MPS ist die Grundzustandsentartung immer konstant.

  • Für translationsinvariante MPS gibt es immer eine spektrale Lücke über der Mannigfaltigkeit des Grundzustands; für PEPS gilt dies nur in bestimmten Fällen.

Umgekehrt von Hamiltonians zu MPS/PEPS:

  • Bei einem lokalen 1D-Hamilton-Operator mit Lücken wird sein Grundzustand durch eine MPS gut angenähert. (vgl. [ Hastings '07 ] für die Skalierung)

  • Bei einem lokalen 2D-Hamiltonian, bei dem die Zustandsdichte nicht zu schnell wächst, wird sein Grundzustand (sowie thermische Zustände) gut durch ein PEPS beschrieben (vgl. [ Hastings '05 ], [ Hastings '07 ] für die Skalierung)

Dies betrifft nur die analytischen Beziehungen zwischen MPS/PEPS und Hamiltonianern. In der Praxis werden typischerweise bessere Grenzen hinsichtlich Annäherung usw. gelten.

In Bezug auf "wenn und nur wenn" -Beziehungen denke ich, dass alle diese Ergebnisse nur streng in eine Richtung gelten (obwohl sie normalerweise "wenn und nur wenn" sein könnten, z. B. würde ich denken, dass typische lückenlose Hamiltonianer keine MPS-Grundzustände haben).

Wenn Sie nach etwas Konkreterem suchen, teilen Sie uns dies bitte mit.

Danke für die Zusammenfassung und die Links. Ich dachte in ähnliche Richtungen: Das ist typischerweise (aber vielleicht kein "fast für alle" Typ) die Korrespondenz ist solide, aber Entartungen wirken sich auf die Hamiltonianer und die MPSs auf etwas unterschiedliche Weise aus. Ich schaue mir eigentlich nichts Konkreteres an und dies entstand als Diskussion mit meinem Freund, aber es ist eines meiner Lieblingsthemen. Ich werde gerne einen Regencheck bekommen, wenn konkrete Dinge auftauchen (wie sie es tun!).
Hallo @norbert-schuch, könnten Sie diese Antwort aktualisieren?
vor einigen Monaten erschien die umfangreiche Übersicht „Matrix Product States and Projected Entangled Pair States: Concepts, Symmetries, and Theorems“ von Ignacio Cirac, David Perez-Garcia, Norbert Schuch und Frank Verstraete: arxiv.org/abs/2011.12127
Zustand der Matrixproduktzustände
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