Welche Kapazitätsgrenze des Shannon-Kanals ist mit zwei gekoppelten Spins verbunden?

Die gestellte Frage lautet:

Was ist die Kapazität des Shannon-Kanals ? C das ist natürlich mit dem Zwei-Spin-Quanten-Hamiltonoperator verbunden H = L ⋅ S ?

Diese Frage stellt sich im Hinblick auf eine gut formulierte und konkrete Instanziierung von Chris Ferries jüngster Frage mit dem Titel Dekohärenz und Messung in NMR . Es wird auch von der leitenden Intuition der Qubit-Metrologie und Dekohärenz von Anil Shaji und Carlton Caves (arXiv:0705.1002) beeinflusst, dass „um die Analyse [von Quantengrenzen] sinnvoll zu machen, wir Ressourcen einführen“.

Und schließlich ist es vernünftig zu hoffen, dass eine so einfache und natürliche Frage eine strenge Antwort haben könnte, die auch einfach und natürlich ist – aber nach meinem besten (unvollkommenen) Wissen wird in der Literatur keine solche Antwort gegeben.

Definitionen

Lassen Sie Alice durch beliebige lokale Operationen ein Spin- j S Teilchen auf einem lokalen Hilbertraum S haben schwach ⁡ S = 2 j S + 1 , auf denen Spin-Operatoren { S 1 , S 2 , S 3 } sind befriedigend definiert [ S 1 , S 2 ] = ich S 3 wie gewöhnlich.

In ähnlicher Weise lasse Bob durch beliebige lokale Operationen eine Drehung messen und steuern. j L Teilchen im lokalen Hilbert-Raum L haben schwach ⁡ L = 2 j L + 1 auf denen Spin-Operatoren { L 1 , L 2 , L 3 } sind befriedigend definiert [ L 1 , L 2 ] = ich L 3 wie gewöhnlich.

Die einzige dynamische Wechselwirkung zwischen den Spins – und damit die primäre Ressourcenbeschränkung, die auf den Kommunikationskanal einwirkt – sei der Hamilton-Operator H = L ⋅ S auf dem Produktraum definiert S ⊗ L . Lassen Sie Bob weiter Informationen über einen klassischen Kommunikationskanal mit unbegrenzter Kapazität zu Alice kommunizieren, aber lassen Sie Alice keinen anderen Kommunikationskanal zu Bob haben als den Kanal, der natürlicherweise dadurch induziert wird H .

Dann läuft die gestellte Frage auf folgendes hinaus: Was ist die maximale Shannon-Informationsrate? C ( j S , j L ) (in Bits pro Sekunde), bei der Alice (klassische) Informationen über den durch induzierten Quantenkanal an Bob übermitteln kann H ?

Narrativ

In der Praxis verlangt diese Frage nach strengen und vorzugsweise engen Grenzen für die Kanalkapazität, die mit der Single-Spin-Mikroskopie verbunden ist. Der Sample-Spin S als beliebig modulierbarer Sample-Spin angesehen werden kann, und der Receiver-Spin L kann unterschiedlich als abgestimmter Kreis, mikromechanischer Resonator oder ferromagnetischer Resonator betrachtet werden, wie unten gezeigt:

Alice und Bob machen Spinmikroskopie

Die Analyse der PNAS-Umfrage Spin Microscopy's Heritage, Achievements, and Prospects (2009) kann leicht erweitert werden, um die folgende vermutete asymptotische Form zu erhalten :

lim j S ≪ j L C ( j S , j L ) = j S ( j L ) 1 / 2 ( 2 π ) 1 / 2 Protokoll ⁡ 2

Beachten Sie insbesondere die Dimensionalität von Bobs Receiver-Spin-Hilbert-Raum L ist Ö ( j L ) ; somit ist Bobs Empfänger kein Hilbert-Raum mit exponentiell großer Dimension zugeordnet. Es ist jedoch durchaus zulässig, dass Alice und Bob (zum Beispiel) zusammenarbeiten, um ihre jeweiligen Spinzustände zu komprimieren; insbesondere ist die Frage so formuliert, dass Alice dabei Echtzeit-Anweisungen unbegrenzter Komplexität von Bob erhalten kann.

Bevorzugte Form der Antwort

Eine Antwort in geschlossener Form, die eine enge Grenze angibt C ( j S , j L ) wird bevorzugt, jedoch eine Demonstration, dass (z. B.) Ö ( C ) durch einen geschlossenen asymptotischen Ausdruck (wie oben) gegeben ist, ist akzeptabel.

Es wäre auch sehr interessant, sowohl aus Sicht der Grundlagenphysik als auch aus Sicht der medizinischen Forschung, besser einschätzen zu können, ob die oben vermutete Kapazität, die an Spin-Imaging und Spektroskopie gebunden ist, wesentlich verbessert werden kann irgendwelche Mittel.

Ich habe diese Frage abgelehnt, da sie wie eine nette Frage erscheint, aber nicht auf die klarste Weise geschrieben ist. Sie sprechen viel über die Frage und ich bin mir nicht sicher, warum Sie dieses Bild aufgenommen haben. Ich denke, wenn es in einem einfachen Motivations-Definitions-Frageformat formuliert wird, wäre es eine nette Frage. Mir ist immer noch nicht ganz klar, warum man sich für einen solchen Hamilton-Operator für Systeme mit mehr als 1/2 Spin interessieren sollte. Ich werde meine Ablehnung gerne entfernen, wenn Sie denken, dass ich unvernünftig bin.
Hoban, Downvotes stören mich weit weniger als Gleichgültigkeit! :) Ja, die Physik schwebt unbehaglich zwischen schöner Mathematik und schönen Experimenten. Spins, die größer als 1/2 sind, werden hauptsächlich experimentell motiviert, wie in meinem Kommentar zu Aram Harrows Antwort (unten) erwähnt: Die Natur liefert uns Partikel mit großem Spin (in Form von Ferromagneten) mit einer räumlichen Spindichte von Milliarden mal größer als dies durch (z. B.) Kondensate mit eingeschlossenen Ionen erreicht werden kann. Der für diese Spindichte zu zahlende Preis besteht darin, dass die effektive Dimension des Hilbert-Raums weit geringer ist als die besagten Kondensate.

Antworten (2)

Dies ist eine offene Frage.

Die Kapazität einiger verwandter Hamilton-Operatoren wurde in quant-ph/0207052 berechnet , und eine Obergrenze wurde in 0704.0964 abgeleitet , aber der von Ihnen beschriebene Hamilton-Operator ist ein Beispiel für einen, für den wir die genaue Antwort nicht kennen.

quant-ph/0207052 enthält jedoch auch eine Vermutung (Gl. 35) über die Kapazität, an der Sie interessiert sind. Ihre Vermutung wird durch numerische Experimente gestützt, aber sie können nicht ausschließen, dass eine Blockcodierungsstrategie besser abschneiden könnte.

Bearbeitet im Lichte unseres Gesprächs heute Nachmittag: Aus unserem Gespräch klingt es, als hätten Sie eine untere Grenze von bewiesen Ω ( j S j L ) unter Verwendung einiger katzenartiger Zustände, basierend auf ähnlichen Prinzipien wie denen in quant-ph/0605013. Ich glaube, ich kann eine asymptotisch übereinstimmende Obergrenze von beweisen Ö ( j S j L ) . Die genaue Konstante ist also noch offen (und ich denke, ein schwieriges Problem), aber zumindest kennen wir die Skalierung.

Argumentieren Sie für diese Grenze zunächst, dass die Wechselwirkung modelliert werden kann als 2 j S Qubits für Alice und 2 j L Qubits für Bob, jeweils in einem symmetrischen Zustand. Um eine Obergrenze zu beweisen, können wir die Einschränkung lockern, dass sich die Qubits in einem symmetrischen Zustand befinden. Dann kann der von Ihnen beschriebene Hamilton-Operator als Summe von Wechselwirkungen zwischen jedem Qubit von Alice und jedem Qubit von Bob ausgedrückt werden, von denen jedes eine konstante Stärke hat. Diese Zwei-Qubit-Hamiltonianer haben Kapazitäten, die durch eine Konstante nach oben begrenzt sind. Eine Referenz für diese letzte Behauptung ist quant-ph/0205057, aber sie war wahrscheinlich schon früher bekannt.

Aram, das sind wunderbare Referenzen, für die ich sehr dankbar bin! Unter besonderer Berücksichtigung von quant-ph/0207052 (Gl. 35) gilt dieses Ergebnis (AFAICT) ausschließlich für gekoppelte Qubits (d. h. Spin-1/2-Teilchen), wohingegen wir, wenn wir einen Blick auf die kommenden Jahrzehnte der Quantenspinmikroskopie werfen sehen Spins vor, die an ferromagnetische Kugeln mit Spin-j ~ 10 ^ 5 gekoppelt sind. Diese Sphären haben (effektiv) einen Zustandsraum der Dimensionalität, der viel größer als ein Qubit, aber viel kleiner als 10^5 Qubits ist; Kurz gesagt, ihr Zustandsraum ist groß genug, um zusammengedrückt zu werden, aber zu klein für (zB) Quantenberechnungen. Mehr Bitte! :)
Aram, im Nachhinein fange ich an, mehr von den Gründen zu verstehen, warum diese einfach zu formulierende Frage schwer zu beantworten ist. Zum Beispiel der Fall j S = 1 / 2 und j L ≫ 1 groß kann als effektive Beschreibung eines Hohlraum-QED-Experiments angesehen werden, mit S der Zustandsraum des sendenden Zwei-Niveau-Atoms und L der Zustandsraum des empfangenden Detektors mit hoher Quanteneffizienz; Diese Systeme sind dafür bekannt, dass sie theoretisch schwer zu analysieren und experimentell schwer zu bauen sind. Umgekehrt bedeutet dies, dass es sehr wertvoll wäre, eine enge Kapazitätsgrenze in geschlossener Form zu kennen.
@AramHarrow: Dieses Update klingt sehr nach Metrologie. Es scheint, als könnte die Heisenberg-Grenze gelten.
@JoeFitzsimons, ich stimme zu. Ich dachte, so etwas sei nicht rigoros bewiesen, aber <a href= arxiv.org/abs/1004.3944>1004.3944</a > könnte in dieser Hinsicht nützlich sein.
@AramHarrow: Vielen Dank für diese wunderbaren Kommentare! Ich war in den letzten Wochen damit beschäftigt, ein Experiment durchzuführen (daher die Langsamkeit bei der Reaktion), aber ich stimme mit der allgemeinen Stoßrichtung Ihrer Bemerkungen überein und habe dadurch ein besseres Verständnis für (was wahrscheinlich ist) der Reihenfolge gewonnen der oberen und unteren Grenzen der Kanalkapazität, die (jeweils) von Cat-State-Sensoren und Coherent-State-Sensoren erreicht werden, und haben sie daher als "Antwort" bewertet.

Arams Antwort scheint perfekt zu sein, aber da Sie auch nach dem Fall für höherdimensionale Systeme fragen, lassen Sie mich hinzufügen, dass es einen einfachen Weg gibt, etwas nicht triviale Ober- und Untergrenzen zu erhalten C ( j S , j L ) . Als Untergrenze können Sie einfach ein beliebiges Gatter synthetisieren, das die Kommunikation zwischen den Quantensystemen implementiert (für einen expliziten Algorithmus zum Konstruieren beliebiger Gatter siehe Nielsen et al, Phys. Rev. A 66, quant-ph/0109064 ).

Eine nicht-triviale obere Schranke ist durch das Margolus-Levitin-Theorem gegeben . Ihre Arbeit ( quant-ph/9710043 ) gibt die maximale Anzahl orthogonaler Zustände an, die ein Quantensystem in einem bestimmten Zeitraum durchlaufen kann, oder umgekehrt eine minimale Zeit (als Funktion der Energie), die erforderlich ist, um vom Anfangszustand zu einem zu werden orthogonaler Zustand (der notwendigerweise eine untere Grenze der Zeit ist, die erforderlich ist, um ein Bit perfekt zu übertragen).

Danke Joe ... es wird ein paar Tage dauern, diese Referenzen zu verarbeiten. Eine Herausforderung bei der Nielsen-Konstruktion ist "Gate to Rate", dh die Konstruktion begrenzt nicht die mit Hamilton-Ressourcen verbundene Energie; somit ist nicht ersichtlich, wie eine Kanalkapazitätsgrenze irgendeiner Art zu extrahieren ist. Eine Herausforderung beim Margolus-Levitan-Theorem besteht darin, dass die mit der Grenze verbundenen Operationen (anscheinend) nicht lokal sind; daher ist die Obergrenze (die ich durch ihre Anwendung erhalte) unphysikalisch optimistisch. Vielleicht gibt es Möglichkeiten, diese Hindernisse zu umgehen; Das wird eine Weile dauern, um darüber nachzudenken.
Fortschrittsbericht: Erste Bemühungen zum Bau konkreter Kommunikationskanäle mit zwei Drehungen, die sich der Margolus-Levitin-Grenze nähern, sind (bisher) an der Beschränkung des lokalen Betriebs gescheitert. Dies trägt (meinerseits) zu der Einschätzung bei, dass die Antwort von Aram Harrow richtig ist, wenn sie behauptet, dass „diese [Kapazität von zwei Qudit-Kanälen] eine offene Frage ist“, hauptsächlich weil die Beschränkung des Betriebsorts tiefgreifende und subtile Konsequenzen hat . Ein sich abzeichnender Vorteil ist eine zunehmende Erkenntnis, dass grundlegende QIT-Beschränkungen mit Einzelphotonenquellen und effizienten lokalen Detektoren verbunden sind.
Fortschrittsbericht II: Durch eine Anpassung der physikalischen Argumentation, die das Margolus-Levitin-Theorem motivierte, scheint es machbar (aber ich überprüfe noch die Details), einen expliziten Zwei-Qudit-Kanal mit Kapazität zu konstruieren
C ( j S , j L ) = Ö ( j S j L )
Dieses Ergebnis stimmt gut mit bekannten metrologischen Grenzen überein. Irgendwann am nächsten Tag oder so (wenn ich Vertrauen in die Konstruktion gewinne) werde ich die Frage bearbeiten, um ein Kopfgeld für einen Beweis anzubieten, dass diese große ... Ö Die Begrenzung der Kanalkapazität ist eng. Vielen Dank euch beiden, Joe und Aram! :)
Das von mir erwähnte Bravyi-Papier (0704.0964) kann als Anwendung des Margolus-Levitin-Prinzips auf die Obergrenze der Verschränkungsrate angesehen werden. Die Schranke ist konstant * Norm der Hamiltonschen * logarithmischen Dimension. (Beachten Sie, dass dies eine Obergrenze für die Kommunikationsrate ist. Auch Dimensionsfaktoren sind sowohl für die Kommunikationsrate als auch für die Verschränkungsrate unvermeidlich, da das Übertragen einer n-Bit-Nachricht eine einzelne Pi / 2-Rotation bedeuten kann.) Leider ist sein Argument unvollständig, weil wir Ich weiß nicht, wie ich kontrollieren soll, wie viel Ancillas die Kapazität erhöhen können.
@AramHarrow: Guter Punkt. Es scheint jedoch, dass Sie die effektive Dimensionalität über die Anzahl der Aufspaltungen in den Eigenwerten lokaler Hamiltonoperatoren begrenzen können.
@AramHarrow: Um zu erklären, was ich meine: Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Spin-1/2-Systeme. Dann induziert Ihre Kopplung höchstens 4 verschiedene Eigenräume, die die relative Phase aufnehmen, unabhängig von der Anzahl der Ancillae oder wie sie vor der Kopplung vorbereitet werden. Da die Informationsübertragung in Perioden der freien Evolution vollständig durch die relativen Phasen zwischen diesen 4 Räumen bestimmt wird, ist dies identisch mit dem, was mit zwei Spins erreicht werden kann. Die einzige Feinheit besteht dann darin, wie Sie mehrere Verwendungen eines solchen Kanals kombinieren können.
Diese Kommentare sind sehr hilfreich. Für Nicht-Spezialisten wie mich ist ein möglicherweise lösbarer Verwirrungspunkt (es kann noch mehr geben, von denen ich nichts weiß) das für C ( j S , j L ) die Kanalkapazität u Γ ( j S , j L ) die Verschränkungsrate (definiert wie zB in Bravyi's 0704.0964) ist plausibel---aber ein Hinweis wäre willkommen---das
C ( j S , j L ) = Ö ( Γ ( j S , j L ) )
aber warum ist das groß- Ö gebunden plausibel gesättigt? Könnte es nicht grob überschätzen C aufgrund lokaler Betriebsbeschränkungen?
@JoeFitzsimons, als Folge findet eine Suche in Mark Wildes 642-seitigem Opus From Classical to Quantum Shannon Theory (1106.1445v2) keine Diskussion über "Verschränkungsraten", aus dem einfachen Grund, dass auch "Hamiltonian" nirgendwo erwähnt wird (the der Begriff „einheitlich“ tritt an seine Stelle). Als stilistischer Kontrast sind in der Quantensystemtechnik von der Natur bereitgestellte Hamilton-Operatoren üblicherweise eine unflexible Ressourcenbeschränkung, z. B. bei der Abbildung biologischer Moleküle ist der Design-Ausgangspunkt der Dipol-Dipol-Spin-Hamilton-Operator, den die Natur vorinstalliert; daher kann die Übersetzung der Theorie in die Praxis eine Herausforderung darstellen.
@JohnSidles: Um ehrlich zu sein, bin ich selbst alles andere als Experte darin. Aram kann Ihnen wahrscheinlich weit zuverlässigere Antworten darauf geben als ich.
Welche Kapazitätsgrenze des Shannon-Kanals ist mit zwei gekoppelten Spins verbunden?
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