Durchschnitt über die Blochkugel

In sphärischen Koordinaten haben Sie einen Faktor von eingefügt$\frac{1}{4\pi}\sin \theta$. Sie haben dies getan, weil das sphärische Flächenelement ist

$$\frac{1}{4\pi}\sin \theta d\theta d\phi$$ nicht nur$d\theta d\phi$. (Dies ist insbesondere das Flächenelement, das Sie erhalten, wenn Sie die euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum auf die Oberfläche einer zweidimensionalen Kugel beschränken). Ebenso in Ihrem$\beta,\phi$Parametrisierung, das Bereichselement ist nicht gerecht$\frac{1}{2\pi}d\beta d\phi$. Es ist am einfachsten, es zu finden, indem man die Transformation betrachtet$\phi \rightarrow \phi, \theta \rightarrow \beta = \cos \frac{\theta}{2}$. Wir bekommen $$d\phi \rightarrow d\phi$$ $$d\theta \rightarrow -\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2}d\beta$$ so ist unser neues Bereichselement $$\frac{1}{4\pi}\sin \theta d\theta d\phi \rightarrow -\frac{1}{8\pi}\sin\cos^{-1}\beta d\beta d\phi$$ $$= -\frac{1}{8\pi}\sqrt{1 - \beta^2} d\beta d\phi$$ Dieses Bereichselement ist orientiert, aber für Ihre Anwendung können Sie das Minuszeichen wahrscheinlich einfach ignorieren.

Beachten Sie, dass Sie auch in die andere Richtung hätten gehen können und stattdessen ein Bereichselement mit gefunden hätten$\theta,\phi$das zu Ihrem "natürlichen" Flächenelement passt$\beta,\phi$. Die Metrik auf der Bloch-Kugel ist jedoch physikalisch aussagekräftig, da es sich um das einzigartige rotationsinvariante Maß auf einem Qubit handelt. Die andere Metrik hat meines Wissens keine physikalische Bedeutung, also ist es wahrscheinlich nicht die, an der Sie interessiert sind.