Berechnen Sie ∫∞0x2r(1+x2)m⋅Γ(m)Γ(1/2)Γ(m−1/2)dx∫0∞x2r(1+x2)m⋅Γ(m)Γ(1/2). )Γ(m−1/2)dx\int_0^\infty\frac{x^{2r}}{(1+x^2)^m}\cdot \frac{\Gamma(m)}{\Gamma( 1/2)\Gamma(m-1/2)}dx mit der Beta-Funktion

Ich bin mitten in einem Problem und arbeite seit einiger Zeit an diesem Integral:

$$\int_0^\infty \frac{x^{2r}}{(1+x^2)^m}\cdot \frac{\Gamma(m)}{\Gamma(1/2) \Gamma(m-1/2)}dx$$ Wobei ich den Integranden auf der rechten Seite als Beta-Funktion identifiziert habe$B(\frac{1}{2},m-\frac{1}{2})=\frac{\Gamma(1/2) \Gamma(m-1/2)}{\Gamma(m)}$.

$$\begin{align} \frac{1}{B(\frac{1}{2},m-\frac{1}{2})}&\int_0^\infty \frac{x^{2r}}{(1+x^2)^m}dx \\ = \frac{1}{B(\frac{1}{2},m-\frac{1}{2})}&\int^\infty_0 x^r(1-x)^{-m}\cdot x^r(1+x)^{-m} dx \end{align}$$

Im unteren Integral der Integrand$x^r(1-x)^{-m}$ist der Integrand für die Beta-Funktion . Wie auch immer, ich kann nicht herausfinden, wie ich darüber hinausgehen soll, aber ich bin sicher, dass ich es nur in eine Form der Beta-Funktion stecken muss. Auch bei dieser Aufgabe soll ich entdecken, dass das Integral nur dann existiert, wenn$2r < 2m -1$.