Verstehen der Ableitung der Gamma-Funktion durch partielle Integration.

Basierend auf dem, was Sie geschrieben haben, haben Sie stillschweigend angenommen$\alpha > 1$, daher läuft Ihr Problem darauf hinaus, dies zu zeigen

$$\lim_{y \to \infty} \frac{y^{\alpha - 1}}{e^y} = 0,$$ was ein klassisches Ergebnis ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu beweisen, eine Möglichkeit besteht darin, dies zu bemerken $$e^{y} = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \cdots > \frac{y^{\lfloor \alpha \rfloor}}{\lfloor \alpha \rfloor!},$$ Wenden Sie dann das Squeeze-Prinzip an.

$$0 \le \frac{y^{\alpha-1}}{e^y} \le \frac{y^n}{e^y} \text{ where $n$ is the least integer that is $\ge \alpha-1$}.$$ Beachten Sie, dass $n\ge0.$

Wenn$n=0$dann ist das trivial$y^n/e^y\to0$als$y\to\infty.$

Andernfalls sagt uns die L'Hopitals-Regel, dass die Grenze dieses letzten Ausdrucks als$y\to\infty$ist die gleiche wie die von$\displaystyle \frac{ny^{n-1}}{e^y},$wenn das existiert. Wir haben also einen Beweis durch mathematische Induktion, dass der Grenzwert ist$0.$

Die Regel von L'Hopital gibt oft nicht viel Aufschluss, obwohl sie sehr effizient auf den Punkt kommt. ich denke an$y^n/e^y$so: annehmen$y$wird inkrementiert von$1\text{ million}$Zu$1\text{ million}+1.$Dann$e^y$wird multipliziert mit$e$, das ist ziemlich viel mehr als$2,$wodurch der Bruchteil auf weniger als die Hälfte dessen reduziert wurde, was er war. Aber der Nummerator$y^n$erhöht sich nur um einen winzigen Bruchteil dessen, was es war:

$$(1\text{ million}+1)^n = (1\text{ million})^n + n(1\text{ million})^{n-1} + \text{lower-degree terms}$$ Wenn $n$ist klein im Vergleich zu $1\text{ million}$dann können diese späteren Terme als klein im Vergleich zu angesehen werden $y^n.$

Deshalb$y^n/e^y$wird weniger als die Hälfte dessen, was es jedes Mal war$y$wird um erhöht$1.$Und wenn$n$ist nicht klein im Vergleich zu einer Million, verwenden Sie einfach eine Billion usw.