Berechnung des Delta-V-Budgets von der Erde zum Merkur

Kontext

Bei der Überprüfung einer grundlegenden Berechnung zur Berechnung des erforderlichen Delta-V-Budgets, um zum Merkur zu gelangen, habe ich einige Schwierigkeiten bei der Interpretation der Zahl 8650 m / s vom Erdabschnitt zum Merkur, wie sie in der U-Bahn-Karte des Sonnensystems angegeben ist, wie in dieser Frage dargestellt .

Außerdem ist mir aufgefallen, dass ich nicht genau verstehe, was mit "Earth Intercept" gemeint ist. Daher möchte ich meine Berechnung des Delta V zusammen mit der Interpretation von „(Earth) Intercept“ vorstellen und fragen, ob ich irgendwelche Fehler in meinen Berechnungen und/oder Annahmen gemacht habe.

Annahmen

• Der "Earth Intercept" bedeutet, dass das Raumschiff die Erdfluchtgeschwindigkeit bezüglich der Erde erreicht hat.
• Der kugelförmige Erdradius beträgt ungefähr 6371000 m.
• Die Erde wird als homogene Kugel angenommen.
• Die LEO-Höhe beträgt 250 km über der Erdoberfläche.
• $$\mu_{Earth}=GM_{Earth}=3.98*10^14$$
• Das Raumfahrzeug kann LEO mit einem Delta V von 9400 m/s erreichen, wovon 1600 m/s auf Reibung entfallen, was eine Kreisgeschwindigkeit von 7800 m/s um leo ergibt . Überprüfen Sie dies mit der Vis-Viva-Gleichung für$r=a$(eine Kreisbahn). $$V_{Circ-LEO}=\sqrt{\frac{\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{3.98*10^14}{6371000+250000}}=7753.18..\frac{m}{s}$$ Dies gilt als bestätigt, da Leo tatsächlich etwas niedriger oder höher als 250 km Höhe sein könnte.
• Als nächstes wird das Delta V, das erforderlich ist, um die Erdfluchtgeschwindigkeit von LEO zu erreichen, berechnet, indem zuerst die Fluchtgeschwindigkeit in LEO-Höhe berechnet wird mit : $$V_{LEO-esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2*3.98*10^14}{6371000+250000}}=10964.6\frac{m}{s}$$ Und davon die zuvor berechnete Kreisgeschwindigkeit von LEO abziehen: $$\Delta V_{LEO-Earth-escape}=V_{LEO-esc}-V_{Circ-LEO}=10964.6-7753.18=3211.46 \frac{m}{s}$$ Was dem Budget nahe genug zu sein scheint, um den Erdabschnitt von LEO zu erreichen, wie in der U-Bahn-Karte des Sonnensystems gezeigt. Daher gilt dies als verifiziert.
• Diese V-Flucht wird als Raumschiff interpretiert, das sich "frei" in jede Position in der Erdumlaufbahn um die Sonne bewegen kann. Im Wesentlichen hat es nicht genug Energie, um sich in seiner Umlaufbahn um die Sonne höher oder niedriger zu bewegen, aber es ist "frei" vom Erdgriff / der Hügelsphäre. (Beachten Sie, dass dies meiner Meinung nach nicht ganz genau ist, da eine tatsächliche Bewegung entlang der Erdumlaufbahn um die Sonne ein vernachlässigbares Delta V erfordern würde).
• Da angenommen wird, dass der „Earth Intercept“ bedeutet, dass sich das Raumschiff einfach irgendwo in der gleichen Umlaufbahnhöhe um die Sonne wie die Erde befindet, wird angenommen, dass es ausreicht, um zum Merkur zu gelangen, eine Kreisbahn zu erreichen, die der des Merkur entspricht große Halbachse (0,387 AE) der elliptischen Umlaufbahn des Merkur. Aus Gründen der Berechnung ist es in Ordnung, Merkur beim Aufprall zu treffen.

Berechnungen

Basierend auf diesen Annahmen wird die eigentliche Berechnung vom Erdabschnitt zum Merkurabschnitt durchgeführt. Zuerst werden die Vis-Viva-Gleichungen umgeschrieben, um die Kreisgeschwindigkeit von Erde und Merkur zu berechnen:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{a_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ \end{split} \end{equation}$$ Ausfüllen der Zahlen:

• $\mu_{Sun}=1.33\cdot 10^{20} \frac{m^3}{s^2}$
• $r_{Earth-Sun}=1.496\cdot 10^{11} m$Erträge: $$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{1.496\cdot 10^{11}}}=29816.73075900643\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$ Als nächstes kann man die Umlaufgeschwindigkeit von Merkur um die Sonne berechnen$r_{Mercury-Sun}=0.387\cdot 1.496\cdot 10^{11}$:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Mercury}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Mercury-Sun}}}\\ V_{Mercury}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{0.387\cdot1.496\cdot 10^{11}}}=47929.68129706198\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$

Daher das Erforderliche$\Delta V$kann wie folgt berechnet werden:

$$\begin{equation} \Delta V_{Mercury}=V_{Mercury}-V_{Earth}=47929.68129706198-29816.73075900643=18112.95053805555\frac{m}{s} \end{equation}$$ Dies jedoch $$18112.95053805555\frac{m}{s}$$ ist nicht in der Nähe der $$8650\frac{m}{s}$$ gezeigt für den Schnittpunkt der Erde zum Schnittpunkt des Merkur.

Code der Berechnungen

Der Vollständigkeit halber ist hier der Python-Code, der die eigentlichen Berechnungen vom Erdabschnitt bis zum Merkurabschnitt durchgeführt hat:

import math

# Initialize parameters:
mu_sun=1.33*10**20
r_earth_sun=1.496*10**11
r_mercury_sun_au=0.387
r_mercury_sun=r_mercury_sun_au*r_earth_sun

# Compute orbital velocities
v_earth=(mu_sun/r_earth_sun)**0.5
print(f'v_earth=\n{v_earth}')

v_mercury=(mu_sun/r_mercury_sun)**0.5
print(f'v_mercury=\n{v_mercury}')

dv_mercury=v_mercury-v_earth
print(f'dv_mercury=\n{dv_mercury}')

Frage

Was habe ich bei meiner Berechnung des Erdabschnitts zum Merkurabschnitt falsch gemacht?