Berechnung des erwarteten systematischen Fehlers in einem Pendelexperiment

Question

Berechnung des erwarteten systematischen Fehlers in einem Pendelexperiment

Bronzeuhren von Benin

Teil c von Problem 4.28 aus Taylors Buch Introduction to Error Analysis verwirrt mich ein wenig. Ein Schüler misst die Erdbeschleunigung mit einer Stahlkugel, die an einer Lichterkette aufgehängt ist. Er zeichnet fünf verschiedene Längen (51,2, 59,7, 68,2, 79,7, 88,3) (alle in cm) und fünf verschiedene Perioden (1,448, 1,566, 1,669, 1,804, 1,896) (alle in Sekunden) auf. Er verwendet die Formel

G = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}

$g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Um den Mittelwert und SDOM der Erdbeschleunigung zu berechnen, die ich berechnet habe $965.6\pm 1.5\,cm/s^2$ . Ich habe diesen Wert doppelt überprüft und bin mir des Ergebnisses ziemlich sicher. Der Student ist besorgt, dass der akzeptierte Wert $g=979.6\,cm/s^2$ nicht in der berechneten Unsicherheit enthalten ist und nach systematischen Fehlern sucht.

Die Frage: Wie groß müsste ein systematischer Fehler in der Länge l sein, damit die Ränder des Gesamtfehlers gerade den akzeptierten Wert von g enthalten? Was ich tat, war festgelegt

A v G (\frac{4 π^{2} (l + Δ l)}{T^{2}}) + S D Ö M (G) = 979,6

$Avg(\frac{4\pi^2(l+\Delta l)}{T^2})+SDOM(g)=979.6$

\to A v G (\frac{4 π^{2} l}{T^{2}}) + A v G (\frac{4 π^{2} Δ l}{T^{2}}) + S D Ö M (G) = 979,6

$\rightarrow Avg(\frac{4\pi^2l}{T^2})+Avg(\frac{4\pi^2\Delta l}{T^2})+SDOM(g)=979.6$

A v G (\frac{4 π^{2} Δ l}{T^{2}}) = 12.5

$Avg(\frac{4\pi^2\Delta l}{T^2})=12.5$

\to Δ l = 0,894

$\rightarrow \Delta l=0.894$

Das sind etwa 1,3 % der durchschnittlichen Länge. In dem Buch steht jedoch, dass meine Antwort ungefähr 1,5 % betragen sollte. Mache ich etwas falsch? Ist mein Verfahren oder meine Berechnung falsch, oder überanalysiere ich die Diskrepanz zwischen meinem Wert und dem des Buches?

Wassilij

Vielleicht Rechenfehler: 979,6 - 965,64 = 13,96 ?

Bronzeuhren von Benin

@Vasiliy Ich habe jetzt die richtigen signifikanten Zahlen verwendet, aber ich bekomme immer noch nur 1,3% anstelle der erwarteten 1,5%

Antworten (1)

Berechnung des erwarteten systematischen Fehlers in einem Pendelexperiment

@Vasiliy Ich habe jetzt die richtigen signifikanten Zahlen verwendet, aber ich bekomme immer noch nur 1,3% anstelle der erwarteten 1,5%

Lugo · Answer 1

Vielleicht lässt sich dieses Problem so lösen

Schau mal in die Sek. 4.6 (Systematische Fehler)

In Teil (c) Aufgabe 4.28 müssen wir den systematischen Längenfehler des Pendels ( $\delta l_{sys}$ ). Da der Wert von $\delta g_{tot}$ Ist $|g_{accepted} - \bar{g}|$ .

Unter Verwendung des obigen Arguments und Gl. 4.26 $\left[ \delta g_{tot} = \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \delta g_{ran}^2} \,\,\right]$ ,

\begin{aligned} δ G_{T Ö T} & = \sqrt{δ G_{S j S}^{2} + δ G_{R A N}^{2}} \\ | G_{A C C e P T e D} - \bar{G} | & = \sqrt{δ G_{S j S}^{2} + σ_{\bar{G}}^{2}} \\ δ G_{S j S} & = \sqrt{{D ich S C R e P A N C j}^{2} - σ_{\bar{G}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \delta g_{tot} &= \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \delta g_{ran}^2} \\ |g_{accepted} - \bar{g}| &= \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \sigma_{\bar{g}}^{\,\,\,2}} \\ \delta g_{sys} &= \sqrt{\mathrm{discrepancy}^2 - \sigma_{\bar{g}}^{\,\,\,2}} \end{align}$

und Ausbreitungsfehlertechniken für die Gleichung $g = 4\pi l/T^2$ gibt die Formel für $\delta g_{sys}$

\begin{aligned} \frac{δ G_{S j S}}{\bar{G}} = \sqrt{{(\frac{δ l_{S j S}}{\bar{l}})}^{2} + {(2 \frac{δ T_{S j S}}{\bar{T}})}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta g_{sys}}{\bar{g}} = \sqrt{\left(\frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}}\right)^2 + \left(2\frac{\delta{T_{sys}}}{\bar{T}}\right)^2} \end{align}$

Da gab es kein Problem mit der Messung des Zeitraums $T$ ( $\delta T_{sys} = 0$ ), haben wir den Fortpflanzungsfehler für $\delta g_{sys}$

\begin{aligned} \frac{δ G_{S j S}}{\bar{G}} = \frac{δ l_{S j S}}{\bar{l}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta g_{sys}}{\bar{g}} = \frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} \end{align}$

Daher die Systematik der Länge $l$ (in Prozenteinheit) ist

\frac{δ l_{S j S}}{\bar{l}} = \frac{\sqrt{{D ich S C R e P A N C j}^{2} - σ_{\bar{G}}}}{\bar{G}} \cdot 100 %

$\frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} = \frac{\sqrt{\mathrm{discrepancy}^2 - \sigma_{\bar{g}}}}{\bar{g}} \cdot 100\%$

Durch Ersetzen aller Werte, die bei der vorherigen Frage gegeben und erhalten wurden, haben wir das Endergebnis

\begin{aligned} \frac{δ l_{S j S}}{\bar{l}} & = 1.43793098102868 % \\ \approx 1.4 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} &= 1.43793098102868 \% \\ &\approx 1.4\% \end{align}$

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Wassilij

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Lugo

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