Fehler beim Verständnis der Fehleranalyse

Question

Fehler beim Verständnis der Fehleranalyse

Devashish Belwal

Gegebene Frage:

Ein Schüler verwendet ein einfaches Pendel mit einer Länge von 1 m und begeht einen Fehler von Δl = 1 mm, um g (die Erdbeschleunigung) zu bestimmen. Er verwendet dafür eine Stoppuhr mit der kleinsten 1s-Zählung und zeichnet 40 Sekunden für 20 Schwingungen auf. Welche der folgenden Aussage(n) ist/sind für diese Beobachtung wahr?

(1) Der Fehler in ΔT beim Messen der Zeitdauer T beträgt 0,05 s

(2) Fehler in ΔT beim Messen der Zeitdauer T ist 1 s

(3) Der prozentuale Fehler bei der Bestimmung von g beträgt 5,1 %.

(4) Der prozentuale Fehler bei der Bestimmung von g beträgt 2,6 %.

Gegebene Lösung:

Antwort (1,3)

ΔT/T = 1/40 Und T = 2s ---warum?

Daher ΔT = 0,05 s

Δg/g × 100 = Δl/l × 100 + 2 × ΔT/T × 100

Δg/g × 100 = ((10)^(-3)/1) × 100 + 2 × (1/40) × 100

Δg/g × 100 = 5,1 %

Ich habe den Teil nicht verstanden, in dem der relative Fehler als kleinste Zählung über die Beobachtung berechnet wurde, da bei der Zeitmessung nur am Anfang oder am Ende Fehler gemacht werden können, und das wäre menschliches Versagen und / oder Leact Zählfehler (in diesem Fall 1 Sekunde), aber das war es, was mein Lehrer mir gesagt hat, als Formel zu lernen, dass Fehler gleich der kleinsten Zählung über der Beobachtung ist. Aber warum?

Auch

Ich habe den Teil nicht verstanden, wo in der Lösung der Wert von T mit 2 angenommen wird. Warum?

Auch in der Lösung während der Berechnung des prozentualen Fehlers nimmt die Lösung ΔT=1 an. Warum?

Antworten (2)

Fehler beim Verständnis der Fehleranalyse

Andreas · Answer 1

Andreas

Ich denke, die meisten dieser Verwirrungen laufen darauf hinaus, die Terminologie zu verstehen.

Es gibt eine Standardformel in der Mechanik, um die Schwingungsdauer eines einfachen Pendels bei gegebener Länge zu berechnen. Mit dieser Formel und den Informationen in der Frage „Ein Schüler verwendet ein einfaches Pendel mit einer Länge von 1 m“ sollten Sie in der Lage sein, zu überprüfen, dass die Schwingungsdauer (ungefähr) 2 s beträgt.
Die Frage lautet "Er verwendet eine Stoppuhr mit der geringsten Anzahl von Einsen" - diese Informationen sollten Ihre Frage zum Wert von beantworten $\Delta T$ ist gewählt.
„Warum teilen $\Delta T$ bis zum Beobachtungszeitpunkt?" -- hier gibt es eine echte konzeptionelle Frage, über die es sich zu denken lohnt. Es ist wahr, dass wir uns irren $\Delta T=1s$ auf die summeÜberwachung. Da wir jedoch 10 Beobachtungen haben, kann der Fehler durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt werden. Hier ist ein Beispiel, um den Hauptpunkt zu veranschaulichen. Angenommen, wir haben das Pendel bei einer Schwingung beobachtet. Dann wissen wir nicht, ob die wahre Periode 9,5 s oder 10,5 s beträgt. Aber nehmen wir nun an, wir beobachten das Pendel 100 Perioden lang (wir langweilen uns sehr!). Wenn die wahre Periode 10 Sekunden beträgt, liegt der Messwert auf unserer Stoppuhr irgendwo zwischen 999,5 Sekunden und 1000,5 Sekunden. Wenn die Periode andererseits 9,5 Sekunden betrug, würde die Anzeige auf der Stoppuhr irgendwo zwischen 949,5 s und 950,5 s liegen. Das Anschauen von 100 Perioden hat uns also etwas zusätzlichen Saft gegeben! Während es bei einer Beobachtung von 1 Periode möglich war, dass die wahre Periode 9,5 s betrug, erhalten wir bei einer Beobachtung von 100 Perioden einen Messwert von 999,7 s.

Devashish Belwal

Hey Andrew, danke für eine so gute Antwort, es hat sehr geholfen, aber ich kann immer noch verstehen, warum "dividieren" "am wenigsten zählen" durch die "Beobachtung", die wir gemacht haben. Ich habe verstanden, dass wir durch längere Beobachtungsdauer genauere Ergebnisse erzielen können.

Andreas

"Least Count" ist nur ein anderer Name für

Δ T

$\Delta T$ . Wenn Sie für beobachten

N

$N$ Perioden, und die wahre Periode ist

T

$T$ , dann erwarten Sie einen Messwert auf der Stoppuhr

T_{s t o p w a t c h}

$T_{\rm stopwatch}$ im Sortiment

N T - Δ T / 2 < T_{s t o p w a t c h} < N T + Δ T / 2

$NT-\Delta T/2 < T_{\rm stopwatch} < NT+\Delta T/2$ . Jetzt ist unsere Messung der Periode

T_{m e a s} = T_{s t o p w a t c h} / N

$T_{\rm meas}=T_{\rm stopwatch}/N$ . Mit diesen beiden Gleichungen können Sie die Differenz zwischen den gemessenen und wahren Perioden anzeigen,

δ T = T_{m e a s} - T

$\delta T=T_{\rm meas}-T$ , erfüllt

| δ T | < Δ T / 2 N

$|\delta T| < \Delta T/2N$ . Das sagt der "Messfehler"

| δ T |

$|\delta T|$ ist die "geringste Anzahl"

Δ T

$\Delta T$ dividiert durch die Anzahl der Perioden

N

$N$ .

Devashish Belwal

Ich glaube, ich fange an, es zu verstehen, aber was genau meinst du, wenn du |δT| eingibst? Als ich die Gleichungen löste, bekam ich δT = (T(N-1) + ΔT/2) oder δT = (T(N-1) - ΔT/2), was bedeutet, dass δT zwischen diesen beiden Ergebnissen liegt, aber woher kommt das "T( N-1)" Begriff gehen?

Andreas

Ok, also fangen wir an

N T - Δ T / 2 < T_{S T Ö P w A T C H} < N T + Δ T / 2

$\begin{equation} NT-\Delta T /2 < T_{\rm stopwatch} < N T + \Delta T / 2 \end{equation}$ Dann subtrahieren wir

N T

$NT$ von jeder Seite

- Δ T / 2 < T_{S T Ö P w A T C H} - N T < Δ T / 2

$\begin{equation} -\Delta T /2 < T_{\rm stopwatch} - NT < \Delta T / 2 \end{equation}$ Dann dividieren wir durch

N

$N$

- Δ T / 2 N < T_{S T Ö P w A T C H} / N - T < Δ T / 2 N

$\begin{equation} -\Delta T /2N < T_{\rm stopwatch}/N - T < \Delta T / 2N \end{equation}$ Dann verwenden wir

T_{m e a s} = T_{s t o p w a t c h} / N

$T_{\rm meas}=T_{\rm stopwatch}/N$ -- dies ist unsere Messung des Zeitraums, basierend auf der Anzeige auf der Stoppuhr. Schließlich definieren wir

δ T = T_{m e a s} - T

$\delta T=T_{\rm meas}-T$ als Differenz zwischen gemessenem und wahrem Zeitraum.

Andreas

Dann haben wir

- Δ T / 2 N < δ T < Δ T / 2 N

$\begin{equation} -\Delta T/2N < \delta T < \Delta T / 2N \end{equation}$ Wenn Sie dies ein wenig anstarren, können Sie sehen, dass es äquivalent zu ist

| δ T | < Δ T / 2 N

$|\delta T| < \Delta T / 2N$ .

VG

Eine nette Antwort, die mir auch geholfen hat, aber ich bin mit Folgendem verwirrt: Die Zeitspanne des einfachen Pendels ist durch die Formel gegeben

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ , Hier

T

$T$ ist der Zeitraum. Aber wenn wir neu anordnen, um zu lösen

g

$g$ , wir erhalten

g = \frac{4 π^{2} L}{T^{2}}

$g=\dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$ Wo

T

$T$ bleibt wieder gleich. Differenzieren wir dies nun aber nach beidseitigem Log, so erhalten wir

| \frac{d g}{g} | = | \frac{d L}{L} | + 2 | \frac{d T}{T} |

$\left| \dfrac{\mathrm d g}{g}\right|=\left|\dfrac{\mathrm d L}{L}\right|+2\left|\dfrac{\mathrm d T}{T}\right|$ , Hier

T

$T$ plötzlich wird die Beobachtungszeit, warum? Das ist es, was mich verwirrt.

Andreas

@LightYagami Ich würde sagen, dass in der Formel, die Sie geschrieben haben,

T

$T$ ist die Periode des Pendels. Aber

d T

$dT$ Ist

Δ T / N

$\Delta T/N$ , mit anderen Worten, die Unsicherheit in der Periode ist die Unsicherheit in der Stoppuhr

Δ T

$\Delta T$ geteilt durch die Anzahl der Perioden, die Sie beobachtet haben (aus den in der Antwort und in den Kommentaren erläuterten Gründen).

VG

@Andrew Ah, jetzt verstehe ich es. Ich ging davon aus

d T = Δ T

$\mathrm d T=\Delta T$ , im Grunde von der Vorstellung von Kleingeld in

T

$T$ , und nahm

d T = 1

$\mathrm d T=1$ S. (+1).

Semioi · Answer 2

Der absolute Fehler für $N=20$ Schwingungen ist $\Delta T_{20}=1s$ , denn das ist die Präzision der Uhr. Um den Fehler pro Schwingung zu erhalten teilen wir einfach durch $N$ . Daher ist der absolute Fehler pro Schwingung $\Delta T_1= \Delta T_{N}/N = \Delta T_{20}/20 = 0.05 s$ .

Warum? Uns interessieren hier nicht zufällige Fehler, die sich bei jeder Schwingung aufsummieren, sondern die Unsicherheit des Messgerätes . Indem man sich die Zeit für viele Oszillationen nimmt, bleibt diese Unsicherheit konstant (sie ist es immer $1s$ ). Daher schreiben wir nur zu $1/N$ zu jeder Schwingung.

Sidemark: Wenn Sie tiefer in die Statistik eintauchen, werden Sie feststellen, dass wir eigentlich eine gleichmäßige Breitenverteilung verwenden sollten $1s$ und nehmen Sie seine Standardabweichung $\sigma = \sqrt{1/12}s$ als Unsicherheit des Geräts. Lassen Sie uns die Dinge jedoch einfach halten und dabei bleiben $\Delta T_{20}=1s$ .

Das oben dargestellte Argument berücksichtigt nur die Unsicherheit des Geräts selbst. Wir berücksichtigen nicht die Zeitverschiebung für einen unvollkommenen Start und Stopp. wir könnten auch diese Fehler berücksichtigen (endliche Reaktionszeit). Allerdings sind diese hoffentlich "klein" im Vergleich dazu $1s$ .

Der relative Fehler für $N=20$ Schwingungen ist definiert als $\Delta T_{20}/ T_{20}$ , Wo $T_{20}=40s$ . Daher ist der relative Fehler für eine einzelne Schwingung $\Delta T_1/ T_1$ , Wo $T_1 = T_{20}/N = 40s/20 = 2s$ . Somit erhalten wir

\frac{Δ T_{1}}{T_{1}} = \frac{0,05 S}{2 S} = 1 / 40

$\frac{\Delta T_1}{T_1} = \frac{0.05s}{2s} = 1/40$

Hilft das?

Das ist eine nette Antwort. Aber, nur als kleine Spitzfindigkeit, ist der Quantisierungsfehler der Stoppuhr wirklich ein "systematischer" Fehler? Ich würde es eher als statistischen Fehler betrachten, denn wenn ich viele Messungen durchführe, sollte ich im Durchschnitt mit einer letzten Periode "knapp unter" der 1s-Grenze der Stoppuhr enden, so oft wie ich mit einer letzten Periode "knapp" ende oben", und diese sollten sich mitteln. Normalerweise hätte ich gedacht, dass ein systematischer Fehler eher etwas sein könnte, das nicht dazu neigt, sich zu mitteln, als ob die Stoppuhr langsam wäre und die 1s-Schläge systematisch von einer echten Sekunde versetzt wären.
Okay, danke für die Klarstellung. Mir scheint es immer noch, dass der Quantisierungsfehler eher statistisch als systematisch ist: Wenn wir beispielsweise über viele unabhängige Experimente mitteln, sollte der Quantisierungsfehler immer weniger wichtig werden. Ich stimme jedoch immer noch absolut zu, dass man nicht davon ausgehen kann, dass die Zeitfehler Gaußsche sind. Eine Möglichkeit, dies rigoros zu handhaben, wäre, eine Wahrscheinlichkeit aufzuschreiben, bei der die beobachteten Werte eher diskrete als kontinuierliche Werte annehmen. Andere Fehlerquellen könnten auf andere Weise in die Wahrscheinlichkeit eingebaut werden.

Fehler beim Verständnis der Fehleranalyse

Devashish Belwal

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Andreas

Devashish Belwal

Andreas

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Andreas

Andreas

VG

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VG

Semioi

Andreas

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