Berechnung des Theta-Terms aus dem Dreiecksdiagramm

Question

Berechnung des Theta-Terms aus dem Dreiecksdiagramm

Physik
Helizität
Feynman-Diagramme
Quantenanomalien
Quantenfeldtheorie
Quantenchromodynamik

Thomas

Das Chirale $U(1)$ Anomalien in der QCD lassen sich durch Einschleifen-Feynman-Diagramme exakt berechnen, beispielsweise durch das berühmte Dreiecksdiagramm . Ich führe derzeit die Berechnung durch, um ein besseres Verständnis der QCD zu erhalten $\theta$ -Begriff , $\mathcal{L}\propto\theta G\tilde{G}$ , Wo $G$ ist der Gluon-Feldstärketensor und $\tilde{G}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}G^{\rho\sigma}$ ist sein Hodge-Dual .

Allerdings stecke ich im letzten Schritt der Berechnung fest. Nach Auswertung des Dreiecksdiagramms mit dem üblichen Ansatz der Feynman-Parametrisierung, Verschiebung des Impulsintegrals, Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften des Impulsintegrals, ..., erhalte ich schließlich den Ausdruck

G^{2} T R (T^{A} T^{B}) ε_{μ v ρ σ} Q_{1}^{μ} Q_{2}^{v} ε_{1}^{ρ} ε_{2}^{σ},

$g^2 Tr(T^aT^b)\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}q_1^\mu q_2^\nu \varepsilon_1^\rho \varepsilon_2^\sigma,$

Wo $g$ ist die QCD-Kopplungsstärke, $T^a$ sind die Erzeuger der Lie-Gruppe, $\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ ist der Epsilon-Tensor, $q_1$ Und $q_2$ sind die einfallenden Gluon-Impulse, und $\varepsilon_1$ Und $\varepsilon_2$ sind die Gluon-Helizitätszustände.

Die Spur $Tr(T^aT^b)$ ist einfach $\delta^{ab}$ , aber ich weiß nicht, wie ich mit den Impulsen und den Helizitätszuständen umgehen soll. Wie schreibe ich diesen Ausdruck in das Endergebnis um,

T R (G \tilde{G}),

$Tr(G\tilde{G}),$

um das oben genannte zu erhalten $\theta$ -Begriff?

Antworten (1)

Berechnung des Theta-Terms aus dem Dreiecksdiagramm

Prahar · Answer 1

Sie wollen jetzt zurück in den Positionsraum. Ich mache das hier sehr schematisch, was die Antwort gibt, ohne den Gesamtfaktor im Auge zu behalten.

Im Wesentlichen unter der Fourier-Transformation $q_{i\mu} \to \partial_\mu$ Und $\epsilon_{i\mu} \to A_\mu$ . Dann

G^{2} Tr (T^{A} T^{B}) ε_{μ v ρ σ} Q_{1}^{μ} Q_{2}^{v} ϵ_{1}^{ρ} ϵ_{2}^{σ} \to G^{2} Tr (T^{A} T^{B}) ε_{μ v ρ σ} \partial^{μ} A^{v} \partial^{ρ} A^{σ} \sim G^{2} Tr (T^{A} T^{B}) ε_{μ v ρ σ} F^{μ v} F^{ρ σ} \sim G^{2} Tr (T^{A} T^{B}) * (F \land * F) \sim G^{2} * Tr (F \land * F)

$g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} q_1^\mu q_2^\nu \epsilon_1^\rho \epsilon_2^\sigma \to g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^\mu A^\nu \partial^\rho A^\sigma \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \ast ( F \wedge \ast F ) \sim g^2 \ast \text{Tr} (F \wedge \ast F )$

Könnten Sie mir bitte erklären, warum Ihre Proportionalitäten immer noch für nicht-abelsche Eichfelder gelten? Ich sehe das $\partial^\mu A^\nu$ ist proportional zu $F^{\mu\nu}$ Wenn $F$ ist die abelsche Photonenfeldstärke. Sondern eine nicht-abelsche Gluonenfeldstärke $G$ enthält auch den Zusatzbegriff $f^{abc}A^b A^c$ , die in den Gluonfeldern bilinear ist $A$ . Soweit ich sehe, müssen diese zusätzlichen Terme irgendwie verschwinden - heben sie sich irgendwo in der Berechnung auf?

Berechnung des Theta-Terms aus dem Dreiecksdiagramm

Thomas

Antworten (1)

Prahar

Thomas

Feynman-Regeln mit Helizitätszuständen.

Ableitung von Feynman-Regeln aus einer Lagrange-Funktion für Scheitelpunktfaktoren für "kompliziertere" Wechselwirkungen

Die Logik der großen NNN-Expansion

Ist es die chirale Anomalie, die allein dafür verantwortlich ist, dass Instanton-Effekte (und damit der θ−θ−θ-Term) in der QCD-Aktion auftreten?

Doppelliniennotation (drei und vier Gluon-Eckpunkte) - wie ist das eine Vereinfachung?

Anomalien der QCD

Wie leitet man den Goldstone-Wilczek-Strom ab?

In welchem Sinne sind Schleifendiagramme Quantenkorrekturen?

Cutoff-abhängiger "inverser Propagator" zur Renormierung

Wie berechnet man die quanteneffektive Wirkung aus 1PI-Feynman-Diagrammen?