Feynman-Regeln mit Helizitätszuständen.

Das Argument für die erste Frage lautet wie folgt:

Betrachten Sie den Pauli-Lubanski-Vektor$W_{\mu} = \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^{\nu}M^{\rho\sigma}$. Wo$P^{\mu}$sind die Momente und$M^{\mu\nu}$sind die Lorentz-Generatoren. (Die Norm dieses Vektors ist ein Kasimir der Poincare-Gruppe, aber diese Tatsache wird für das Argument nicht benötigt.)

Durch Symmetrieüberlegungen haben wir$W_{\mu} P^{\mu} = 0$. Nun muss im Fall eines masselosen Teilchens ein Vektor orthogonal zu einem lichtähnlichen Vektor proportional zu diesem sein (leichte Übung). Daher$W^{\mu} = h P^{\mu}$, ($h = const.$). Nun ist die Nullkomponente des Pauli-Lubanski-Vektors gegeben durch:

$W_{0} = \epsilon_{0\nu\rho\sigma}P^{\mu}M^{\mu\nu} = \epsilon_{abc}P^{a}M^{bc} = \mathbf{P}.\mathbf{J}$, (wobei die Summierung nach der zweiten Gleichheit nur auf den räumlichen Indizes erfolgt, und$\mathbf{J}$sind die Rotationsgeneratoren).

Daher die Proportionalitätskonstante$h = \frac{W^{0}}{P^{0}}= \frac{\mathbf{P}.\mathbf{J}}{|\mathbf{P}|}$ist die Helizität.

Nun, auf der Quantenebene, wenn wir uns um einen Winkel von drehen$2 \pi$um die Impulsachse erhält die Wellenfunktion eine Phase von:$exp(2 \pi i\frac{\mathbf{P}}{|\mathbf{P}|}.\mathbf{J}) = exp(2 \pi i h)$. Dieser Faktor sollte sein$\pm 1$nach der Partikelstatistik also$h$muss halbzahlig sein.

Was die zweite Frage betrifft, so ist der Twistor-Ansatz eine sehr leistungsfähige Methode zur Konstruktion der Gluon-Amplituden. Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von NP Nair für eine klare Darstellung.

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Dieses Update bezieht sich auf die Fragen, die von user6818 in den Kommentaren gestellt wurden:

Der Einfachheit halber betrachte ich den Fall eines Photons und nicht von Gluonen.

Die Strategie der Lösung basiert auf der expliziten Konstruktion von Drehimpuls und Spin eines freien Photonenfeldes (die von den Polarisationsvektoren abhängen) und dem Zeigen, dass die obigen Beziehungen für das Photonenfeld erfüllt sind. Der Photonenimpuls und die Drehimpulsdichten können über das Noether-Theorem aus der Photonen-Lagrangedichte gewonnen werden. Alternativ ist bekannt, dass der lineare Impuls des Photons durch den Poynting-Vektor gegeben ist (proportional zu)$\vec{E}\times\vec{B}$, und es ist nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass die Gesamtdrehimpulsdichte (proportional zu) ist$\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}$.

Nun kann der Gesamtdrehimpuls in Dreh- und Spindrehimpuls zerlegt werden (siehe KT Hecht: Quantenmechanik (Seite 584 Gleichung 16))

$\vec{J} = \int d^3x (\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}) =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A} + \sum_{i=1}^3 E_j \vec{x} \times \vec{\nabla} A_j )$

Der erste Term auf der rechten Seite kann als Spin und der zweite als Bahndrehimpuls interpretiert werden, da er proportional zum Ort ist.

Nun sind weder die Spin- noch die Bahndrehimpulsdichten eichinvariant (nur ihre Summe ist es). Aber man kann argumentieren, dass der gesamte Bahndrehimpuls Null ist, weil die Position im Mittel Null ist, also der Gesamtspin:

$\vec{S} =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A})$

ist eichinvariant:

Nun können wir das bei der kanonischen Quantisierung beobachten:$[A_j, E_k] = i \delta_{jk}$, wir bekommen$[S_j, S_k] = 2i \epsilon_{jkl} S_l$. Welches sind die Drehimpulskommutierungsbeziehungen abgesehen vom Faktor 2.

Nun durch Einsetzen der Lösung für ebene Wellen:

$A_k = \sum_{k,m=1,2} a_{km} \vec{\epsilon_m}(k) exp(i(\vec{k}.\vec{x}-|k|t)) +h.c.$

(Die Bedingung$\vec{\epsilon_m}(k).\vec{k} = 0$, ist nur eine Folge des Verschwindens der Quellen).

Wir erhalten:

$\vec{S} = \sum_{k,m=1,2}(-1){m} a^\dagger_{km}a_{km} \hat{k} = \sum_{k}(n_1-n_2)\hat{k}$

(Wo$n_1$,$n_2$sind die Anzahl der rechts- und linkszirkular polarisierten Photonen). Somit ist für ein einzelnes freies Photon der Gesamtspin, also der Gesamtdrehimpuls, entlang oder entgegengesetzt zum Impuls ausgerichtet, was dasselbe Ergebnis ist, das im ersten Teil der Antwort angegeben ist.

Zweitens existieren die Photonen-Gesamtspinoperatoren und wandeln sich (bis zu einem Faktor von zwei) in Spin-1/2-Drehimpulsoperatoren um.

Wenn Feynman-Regeln angegeben werden, sind sie immer ohne Erwähnung der Helicities - das finde ich sehr verwirrend. Wie führt man das ein und erklärt es?

In der QFT kann man den Zustand eines Eichquants durch seinen Impuls und seine Helizität darstellen. Sie können dies auch eichabhängig tun, indem Sie den Impuls und einen Polarisationsvektor angeben$\epsilon_\mu(p)$. Dies ist null$\epsilon(p)^2 = 0$und unterliegt einer Eichgleichwertigkeit$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$. Wenn Sie eine Streuamplitude mithilfe von Feynman-Regeln berechnen, beschreiben Sie die Zustände der externen Partikel mithilfe von Polarisationsvektoren. Dies ist Standard-Lehrbuchmaterial, also verstehe ich nicht, was Sie verwirrt.

Gibt es ein intuitives/einfaches Argument dafür, warum masselose Teilchen "Helizitäten" (und keine Polarisationen) haben sollten und sie nur die Form ± irgendeine positive ganze Zahl haben können? (.. ich habe einige sehr detaillierte Argumente dafür gesehen, die von der Darstellungstheorie für die kleine Gruppe masseloser Teilchen und verschiedenen anderen topologischen Überlegungen abhängen - ich suche hier nach einer "schnellen" Erklärung dafür ...)

Mathematisch entsprechen Teilchen irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe. Die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe ist etwas heikel, weil sie nicht kompakt ist. Aber die Nicht-Kompaktheit ist physikalisch leicht zu verstehen: Das liegt daran, dass man um einen beliebigen Betrag verstärken kann. Vergessen wir also die Boosts und betrachten wir nur die Lorentz-Transformationen, die die Richtung des Impulses beibehalten. Sie sollten zeigen können, dass diese Transformationen a bilden$SO(2) \simeq U(1)$Untergruppe. Sie wirken auf die Zustände, indem sie sie mit einer Phase multiplizieren. Die Anklage darunter$U(1)$Gruppe ist nur die Helizität.

Gibt es einen Grund, warum polarisierte Gluon-Streuamplituden auf Baumebene irgendwie "offensichtlich" niedergeschrieben werden können?

Was meinst du mit offensichtlich? Es ist einfach, es auf Baumebene aufzuschreiben, es ist eine typische QFT-Übung bei der Verwendung von Feynman-Regeln. Übrigens scheint mir die Formel, die Sie aufgeschrieben haben, nicht richtig zu sein, da sie die Eichinvarianz bricht. Es sollte unter unveränderlich sein$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$.