Berechnung des Wirkungsgrades eines Carnot-Motors für Photonengas

Question

Berechnung des Wirkungsgrades eines Carnot-Motors für Photonengas

Anonym

Ich arbeite an einem Problem, das den Carnot-Zyklus für ein Photonengas berücksichtigt. Der Kreislauf weist zwei isotherme Prozesse auf $T_{H}$ Und $T_{C}$ und zwei adiabatische Prozesse.

Die Entropie des Photonengases ist $S(U,V)=bU^{0.75}V^{0.25}$ von denen ich abgeleitet habe

U = A T^{4} v

$U=aT^{4}V$ Und

P = \frac{1}{3} A T^{4}

$P=\dfrac{1}{3}aT^{4}$

Wo $a=(\dfrac{3b}{4})^{4}$ .

Ich möchte die geleistete Arbeit und die absorbierte Wärme in jedem der vier Prozesse des Carnot-Zyklus berechnen und dann den Wirkungsgrad berechnen $\eta$ des Motors (der, da es ein Carnot-Motor ist, sein wird $\dfrac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}$ ).

Ich habe meinen Zyklus mit 1 in der unteren rechten Ecke, 2 in der unteren linken Ecke, 3 in der oberen linken und 4 in der oberen rechten Ecke gekennzeichnet.

Dann entlang der adiabatischen Kurven (2 --> 3 und 4 --> 1): $\Delta Q=0$ . Also für die 2--> 3

W = U_{3} - U_{2} = A (T_{H}^{4} v_{3} - T_{C}^{4} v_{2})

$W= U_{3}-U_{2}=a(T_{H}^{4}V_{3}-T_{C}^{4}V_{2})$

Und für die 4-->1:

W = U_{1} - U_{4} = A (T_{C}^{4} v_{1} - T_{H}^{4} v_{4})

$W= U_{1}-U_{4}=a(T_{C}^{4}V_{1}-T_{H}^{4}V_{4})$

Entlang der isothermen Pfade, da $dU=aT^{4}dV+4aT^{3}VdT=at^{4}dV$ , das wissen wir aus dem ersten Gesetz

D U = Δ Q - P D v = A T^{4} D v

$dU=\Delta Q- p dV=aT^{4}dV$ .

Also entlang 3 -> 4: $W= \dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})$ Und $\Delta Q=\frac{4}{3}aT^{4}(V_{4}-V_{3})$ .

Entlang 1 -> 2, $W=\dfrac{1}{3}aT_{C}^{4}(V_{2}-V_{1})$ .

Dann

η = \frac{A [T_{H}^{4} (v_{3} - v_{4}) + T_{C}^{4} (v_{1} - v_{2})] + \frac{1}{3} A T_{H}^{4} (v_{4} - v_{3}) + \frac{1}{3} A (T_{C}^{4} (v_{2} - v_{1}))}{\frac{4}{3} A T_{H}^{4} (v_{4} - v_{3})}

$\eta=\frac{a\left[T_{H}^{4}\left(V_{3}-V_{4}\right)+T_{c}^{4}\left(V_{1}-V_{2}\right)\right]+\dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})+\dfrac{1}{3}a(T_{C}^{4}(V_{2}-V_{1}))}{\dfrac{4}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})}$

Welche, mit $T^{3}V=const.$ zeigen $V_{1}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{4}$ Und $V_{2}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{3}$ , ich stecke ein, um zu finden:

η = \frac{T_{C} - T_{H}}{2 T_{H}}

$\eta=\frac{T_{C}-T_{H}}{2T_{H}}$

Was um den Faktor -2 falsch ist!

Wie eliminiere ich diesen falschen Faktor von -2?

Außerdem habe ich einige andere Arbeiten erledigt und festgestellt, dass dies der Fall ist $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{V_{4}}{V_{3}}$

Vim

Obwohl ich den Carnot-Zyklus für Photonen nicht kenne, denke ich, dass er wahr ist. Denn das ist gerade beim idealen Gas der Fall.

Benutzer44816

Ich hatte zuvor einen Fehler gemacht (ich habe die ideale Gasgleichung verwendet, um p anstelle der Photonengasgleichung auszudrücken), habe ihn aber jetzt behoben. Ich versuche immer noch, die Abhängigkeit von Volumina zu eliminieren, um die Carnot-Effizienz zu erhalten. Gibt es eine Möglichkeit, meine Frage anzupassen, um eine Antwort zu fördern?

Benutzer44816

Ich habe die Annahme verwendet, dass entlang der isothermen Pfade

d U = 0

$dU=0$ , aber gegeben die Formel für

U

$U$ wie oben angegeben, ist dies eine gültige Annahme? Und wenn es nicht gültig ist, wie berechne ich dann die absorbierte / abgegebene Wärme entlang isothermer Kurven?

Vim

Tut mir leid, ich bin mit dem Fall von Photonen nicht vertraut. Aber ich denke die

Δ U

$\Delta U$ während eines bestimmten Prozesses hängt vollständig davon ab

U

$U$ s Gleichung. Und wie du gezeigt hast,

U = a T^{4} V

$U=aT^4 V$ , denke ich entlang isothermer Pfade

V

$V$ wird auch eine Rolle spielen

Δ U

$\Delta U$ .

Antworten (1)

Berechnung des Wirkungsgrades eines Carnot-Motors für Photonengas

Obwohl ich den Carnot-Zyklus für Photonen nicht kenne, denke ich, dass er wahr ist. Denn das ist gerade beim idealen Gas der Fall.
Ich hatte zuvor einen Fehler gemacht (ich habe die ideale Gasgleichung verwendet, um p anstelle der Photonengasgleichung auszudrücken), habe ihn aber jetzt behoben. Ich versuche immer noch, die Abhängigkeit von Volumina zu eliminieren, um die Carnot-Effizienz zu erhalten. Gibt es eine Möglichkeit, meine Frage anzupassen, um eine Antwort zu fördern?
Ich habe die Annahme verwendet, dass entlang der isothermen Pfade $dU=0$ , aber gegeben die Formel für $U$ wie oben angegeben, ist dies eine gültige Annahme? Und wenn es nicht gültig ist, wie berechne ich dann die absorbierte / abgegebene Wärme entlang isothermer Kurven?
Tut mir leid, ich bin mit dem Fall von Photonen nicht vertraut. Aber ich denke die $\Delta U$ während eines bestimmten Prozesses hängt vollständig davon ab $U$ s Gleichung. Und wie du gezeigt hast, $U=aT^4 V$ , denke ich entlang isothermer Pfade $V$ wird auch eine Rolle spielen $\Delta U$ .

Benutzer44816 · Answer 1

Entlang der adiabatischen Pfade,

Δ Q = 0

$\Delta Q=0$ So

D U = - P D v

$dU=-pdV$ was bedeutet, dass die geleistete Arbeit gegeben ist durch

W = - Δ U

$W=-\Delta U$ .

Dies ändert die Werte, die ich in meiner Frage vorgeschlagen habe.

In der Tat:

Entlang des Übergangs 2 -> 3

W = U_{2} - U_{3} = A (T_{C}^{4} v_{2} - T_{H}^{4} v_{3})

$W=U_{2}-U_{3}=a(T_{C}^{4}V_{2}-T_{H}^{4}V_{3})$

Entlang des Übergangs 4 -> 1

W = U_{4} - U_{1} = A (T_{H}^{4} v_{4} - T_{C}^{4} v_{1})

$W=U_{4}-U_{1}=a(T_{H}^{4}V_{4}-T_{C}^{4}V_{1})$

Diese Korrektur ergibt

η = \frac{A [T_{H}^{4} (v_{4} - v_{3}) + T_{C}^{4} (v_{2} - v_{1})] + \frac{1}{3} A T_{H}^{4} (v_{4} - v_{3}) + \frac{1}{3} A (T_{C}^{4} (v_{2} - v_{1}))}{\frac{4}{3} A T_{H}^{4} (v_{4} - v_{3})}

$\eta=\frac{a\left[T_{H}^{4}\left(V_{4}-V_{3}\right)+T_{c}^{4}\left(V_{2}-V_{1}\right)\right]+\dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})+\dfrac{1}{3}a(T_{C}^{4}(V_{2}-V_{1}))}{\dfrac{4}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})}$

Und da $T^{3}V=constant$ Entlang adiabatischer Kurven können wir die Substitutionen verwenden:

v_{1} = (\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3} v_{4}

$V_{1}=(\frac{T_H}{T_{C}})^{3}V_{4}$ Und

v_{2} = (\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3} v_{3}

$V_{2}=(\frac{T_H}{T_{C}})^{3}V_{3}$ zu lösen für unsere endgültige Antwort, die die erwartete Carnot-Effizienz ist:

η = \frac{T_{H} - T_{C}}{T_{H}}

$\eta=\frac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}$

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