Bestimmung der Existenz von Übertragungsfunktion H(s) und Fourier-Transformation H(w) für Nicht-LTI-Systeme?

Angesichts dessen

j ( T ) = cos ⁡ ( 2 π T ) X ( T )
Wo X ( T ) ist ein Systemeingang und j ( T ) ist die Ausgabe des Systems, ich muss feststellen, ob an H ( S ) / H ( w ) Beziehung besteht. Da dieses System kein LTI ist, weiß ich wirklich nicht, wie ich es angehen soll. Ich kann keine Laplace-Transformation anwenden, selbst wenn sie in Polarform konvertiert wird, und ich bin ratlos.

In einem anderen Fall, in dem ein Nicht-LTI-System Kopfschmerzen verursachte, ist es mir gelungen, dies festzustellen

H ( T ) = Sünde ⁡ ( 10 π T ) π T
(oder 10 seit ⁡ ( 10 π T ) wenn Sie es vorziehen), und daher glaube ich, dass es sich um eine Fourier-Transformation handelt H ( w ) sollte ein Einheitsschritt sein, um den herum er zentriert ist 10 π , aber ich weiß nicht, wie ich feststellen kann, ob dieses Formular eine Laplace-Transformation hat oder nicht (dh H ( S ) ). Ich sehe es sicherlich nicht als Standardform in irgendwelchen Laplace-Transformationstabellen, auf die ich gestoßen bin.

Jeder Hinweis in die richtige Richtung wäre sehr willkommen.

Ist das eine Art Problem, das Ihnen von einem Professor gegeben wurde, oder ist es Ihre eigene Neugier? Soweit ich weiß, ist die einfache E / A-Beziehung, die durch L-Transformationen ermöglicht wird, nur für LTI-Systeme erhältlich. Denn Y(s)=H(s)X(s) ergibt sich aus der Anwendung von LT auf ein Faltungsintegral im Zeitbereich, dh die Faltung zwischen x(t) und h(t), wobei h die Impulsantwort von ist der LTI. Mit anderen Worten, diese Art von Beziehung ist eine Folge davon, dass das System linear ist. Mir ist keine ähnliche Technik für nichtlineare Systeme bekannt.
Übrigens ist Ihr System ein Modulator, sodass Sie die Eigenschaften der Fourier-Transformation anwenden können, um das Problem zu lösen. Zerlegen Sie die cos-Funktion in zwei komplexe Exponentialfunktionen ...
Es ist ein Überprüfungsproblem für eine Auffrischung von Material, das ich früher in meinem Grundstudium behandelt habe. Ich erkenne die Form als einfache kohärente Modulation, war mir aber nicht sicher, wie ich die Eingabe / Ausgabe über das Triviale hinaus in Beziehung setzen sollte. Ihre Antwort unten ist sehr hilfreich, danke!

Antworten (1)

Ihr System ist ein Modulator.

Seit cos ⁡ ( 2 π F 0 T ) = e J 2 π F 0 T + e − J 2 π F 0 T 2 es folgt ( F 0 = 1 ):

j ( T ) = cos ⁡ ( 2 π T ) X ( T ) = e J 2 π F 0 T + e − J 2 π F 0 T 2 X ( T ) = 1 2 X ( T ) e J 2 π F 0 T + 1 2 X ( T ) e − J 2 π F 0 T

Gegeben ist die folgende Eigenschaft der Fourier-Transformation:

F { X ( T ) e J 2 π F 0 T } = X ( F − F 0 )

Transformation mit Fourier y(t) ergibt:

Y ( F ) = 1 2 X ( F − F 0 ) + 1 2 X ( F + F 0 ) = 1 2 X ( F − 1 ) + 1 2 X ( F + 1 )

Bestimmung der Existenz von Übertragungsfunktion H(s) und Fourier-Transformation H(w) für Nicht-LTI-Systeme?
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