Interpretation der transformierten Laplace-Funktion und Laplace vs. Fourier

Die Laplace-Transformation hat einige nette Eigenschaften, die helfen, mehr Einblick in das Verhalten linearer Systeme zu bekommen.

Eine sehr schöne Eigenschaft ist, dass die entlang der jw-Achse ausgewertete Laplace-Transformation der Fourier-Transformation entspricht, die weniger abstrakt und leichter zu verstehen ist. Das bringt uns natürlich wieder zu der Frage zurück, warum wir die Fourier-Transformation nicht überhaupt verwendet haben.

Die Antwort ist ganz einfach. Wir müssen oft Systeme analysieren und mit ihnen arbeiten, die instabil sind oder bei denen wir feststellen wollen, ob sie stabil sind oder nicht. In solchen Fällen versagt die Fourier-Transformation (= existiert nicht). Aus diesem Grund wurde die Laplace-Transformation eingeführt. Sie enthält einen zusätzlichen Term, der die Konvergenz des Integrals unterstützt, und daher kann die Laplace-Transformation auf ein breiteres Spektrum von Problemen und Anwendungen angewendet werden.

Was sind die Fourier-Transformationen für die Schritt- und Rampenfunktionen ? Wie auch von Prof. CP Quevedo erklärt: " Die Idee zu sagen, dass solche Funktionen periodisch sind, mit unendlicher Periode, gilt nicht mehr (die Funktion kehrt nie auf Null zurück und hat keine Möglichkeit, sich zu wiederholen, auch nicht im Unendlichen ". Dies Hier tritt die Laplace-Transformation ein, indem ein reeller Term eingeführt wird$\sigma$In$s = \sigma + j\omega$, ist es möglich, das "Fourier-Transformations"-Integral (jetzt eine Laplace-Transformation) konvergieren zu lassen.

$$F(s) = \int_{^{^0{-}}}^{\infty}f(t)e^{^{-st}}dt$$

Tatsächlich besteht das Hauptziel der Laplace-Transformation darin, eine Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung (wie Logarithmen) umzuwandeln. Danach, um im komplexen Bereich zu arbeiten, erweitern Sie das Ergebnis mit Teilbrüchen, kehren Sie zum Zeitbereich zurück, indem Sie (normalerweise) Transformationstabellen verwenden; nicht nur an sinusförmigen Signaleingängen. Es sollte auch daran erinnert werden, dass der Frequenzgang (sinusförmig) nur eine der Anwendungen der Übertragungsfunktion ist.

Fourier-Reihe : Ein periodisches Zeitsignal wird als unendliche Summe von Sinuskurven (diskrete Frequenzen, Harmonische) angesehen.

Fourier-Transformation : Ein nicht unbedingt "periodisches" Zeitsignal wird als unendliche Summe von infinitesimal skalierten Sinuskurven (kontinuierliche Frequenzen) angesehen. Summe -> Integral.

Laplace-Transformation : Ein nicht unbedingt "periodisches" Zeitsignal wird als unendliche Summe von infinitesimalen exponentiell skalierten Sinuskurven (kontinuierliche Frequenzen) angesehen.

ZUSATZ:$\sigma$kommt ins Spiel, wenn der Frequenzbegriff auf "komplexe Frequenz" verallgemeinert wird. Wenn du schreibst$Ae^{kt}$, der Exponent sollte dimensionslos sein; so dass$k$sollte sein${second}^{-1}$. Beachten Sie die Ähnlichkeit mit „Hertz“, dh es handelt sich um eine Frequenzart. Zum Beispiel im$Ae^{2t}$, Die$2$ist die Häufigkeit (Ereignisse pro Sekunde), mit der$A$wird multipliziert mit$e$. Die Einheit dieser „Frequenz“ ist Neper/Sekunde. Daher

$$s [complex Neper/ second] = \sigma [Neper/second] + j\omega [radians/second]$$ Nun hat eine Exponentialfunktion eine Frequenz, auch wenn sie vom traditionellen Konzept abweicht. In der Laplace-Transformation wird die $\sigma$ist ein geeigneter Wert (aber nicht nur), damit das Integral konvergiert.

Daher verwende ich normalerweise die Fourier-Domäne, um ein Signal und seine Frequenzkomponenten zu analysieren. In der Fourier-Domäne können Sie Tricks anwenden, um das Signal zu manipulieren (z. B. mit einer Schrittfunktion multiplizieren, um einen LP-, HP- oder BP-Filter zu erstellen). Obwohl ich das letzte Mal damit konfrontiert war, habe ich nur die Faltung des Signals gegen eine Sinc-Funktion durchgeführt (einfacher in einem Programm zu schreiben und schneller).

Die Laplace-Domäne wird eher für Systemanalyse und Steuerungstheorie verwendet. Normalerweise beginnen Sie mit der transformierten Version -> wie bei einem Kondensator ist Z = 1 / (sC). Und sobald Sie die Übertragungsfunktion Ihres gesamten Systems herausgefunden haben, können Sie sehen, wie es auf Eingaben reagiert (häufig führen Sie einen Frequenz-Sweep oder einen Nyquist-Plot durch).

Diese Konzepte schließen sich nicht gegenseitig aus. Ich glaube, Fourier ist ein spezifischer Fall des allgemeineren Laplace-Falls (bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, oder erläutern Sie dies nach Bedarf, da ich mich wirklich nicht an diesen Punkt erinnere).