Unter welchen Bedingungen ist jw gleich der Laplace-Variablen s in einem Stromkreis?

Die Laplace-Variable$s$bezieht sich auf Fourier$j\omega$folgendermaßen:

Die Fourier-Transformation kann als Laplace-Transformation angesehen werden$\sigma=0$. Der$\sigma$erlaubt der Laplace-Integraltransformation für Signale zu konvergieren, die die Fourier-Transformation nicht tut, zB ein einheitlicher Schritt (Heaviside-Funktion).

Wenn Sie mit realen Signalen in einem stationären Regime arbeiten , besteht die Möglichkeit, dass Wellenformen sowohl für Fourier als auch für Laplace konvergieren (das Signal wird nicht plötzlich unbegrenzt oder zeigt einen nicht differenzierbaren Punkt).$s$Und$j\omega$austauschbar werden. In mathematisch strenger Weise muss die Laplace-ROC ( Region of Convergence ) enthalten sein$\sigma=0$, auch bekannt als$j\omega$Achse der s-Ebene.

Die Konvergenzbeschränkungen von Fourier sind ein Grund für einige Hardcore-Mathematik, wenn Sie interessiert sind, hat Wikipedia einen großartigen Link dazu .

Lassen Sie mich eine kurze Antwort ohne Mathematik versuchen. Nehmen wir an, Sie interessieren sich nicht für den Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich - das heißt: Sie interessieren sich nur für die frequenzabhängigen Eigenschaften eines Systems oder einer Schaltung. In diesem Fall benötigen Sie die Laplace-Transformation überhaupt nicht - und Sie können das Symbol s nur als Abkürzung für jw interpretieren ( s=jw ). In diesem Fall können Sie für Ihre Schaltung die interessierenden frequenzabhängigen Größen (Betrag, Phase) berechnen und zeichnen.

Um jedoch einige spezielle Eigenschaften des Systems (insbesondere bei Systemen mit Rückkopplung) zu diskutieren, ist es hilfreich, in den komplexen Frequenzbereich zu wechseln (Einstellung s=σ+jω ). Und in der komplexen Frequenzebene können wir einige interessante Parameter wie Pol/Nullpunkt-Verteilung, Polfrequenzen, Polqualitätszahlen, ...) visualisieren.

Diese Parameter sind sehr hilfreich, um die Systemeigenschaften im Vergleich zu anderen (ähnlichen) Systemen zu beschreiben. Ein gutes Beispiel sind Filterschaltungen, die sich durch entsprechende Pol- und Nullstellen charakterisieren lassen.

Abschließend sei noch erwähnt, dass die wichtigsten Anwendungen des komplexen Frequenzbereichs Stabilitätsanalysen (Nyquist-Diagramm) sind.

Aber man muss sich darüber im Klaren sein, dass der komplexe Frequenzbereich ein reines Kunstprodukt ist. Komplexe Frequenzen existieren nicht und können nicht erzeugt werden. Aber sie sind ein sehr effizientes Werkzeug zur Analyse (und auch zum Entwurf) von frequenzabhängigen Schaltungen und Systemen.