Steady-State-Antwort und Übertragungsfunktion

Nicht ganz,$H(s)X(s)$ist die Antwort auf das Signal$X(s)$wenn das System anfänglich in Ruhe ist, dh mit "Null"-Anfangsbedingungen.

Sie können dies folgendermaßen verstehen. Ein LTI-System kann im Zeitbereich durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wie den folgenden beschrieben werden:

$a_ny^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1y^{(1)}(t) + a_0y(t) = b_mx^{(m)}(t) + b_{m-1}x^{(m-1)}(t) + \dots + b_1x^{(1)}(t) + b_0x(t)$

Unter Berücksichtigung der Differenzierungseigenschaft der einseitigen Laplace-Transformation:

$L\{D[q(t)]\} = sQ(s) - q(0^-) \qquad\qquad \text{where} ~~ Q(s) = L\{q(t)\}$

Sie können die L-Transformation beider Mitglieder der Differentialgleichung nehmen und erhalten die folgende Gleichung im s-Bereich:

$a_ns^nY(s) + a_{n-1}s^{(n-1)}Y(s) + \dots + a_1sY(s) + a_0Y(s) + R(s) = b_ms^mX(s) + b_{m-1}s^{(m-1)}X(s) + \dots + b_1sX(s) + b_0X(s) + K(s)$

Wo$R(s)$ist ein Polynomausdruck in$s$wobei die Koeffizienten Kombinationen der Ableitungen von sind$y$berechnet bei$0^-$(Dieser Begriff stammt aus dem$q(0^-)$in der Differenzierungseigenschaft). Analog$K(s)$ist ein Polynom, dessen Koeffizienten Kombinationen von sind$x$berechnet bei$0^-$.

Wenn du ausrechnest$X(s)$Und$Y(s)$in der transformierten Gleichung und dann isolieren$Y$Sie erhalten Folgendes, was ein Ausdruck für die gesamte Antwort ist (Nullzustand + Nulleingang):

$Y(s) = \dfrac {b_ms^m + b_{m-1}s^{m-1}+\dots+b_0} {a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0} X(s) + \dfrac{K(s)-R(s)}{a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0}$

Der erste Begriff ist$H(s) X(s)$und gibt Ihnen die volle Reaktion des Systems, wenn es angeregt wird$x(t)$wenn sein Anfangszustand „Null“ ist (d. h. keine Energie in Kondensatoren und Spulen gespeichert ist, wenn es sich um elektrische Schaltungen handelt), stellt der andere Term den Teil des Einschwingverhaltens aufgrund der im System zum Zeitpunkt 0 gespeicherten Energie dar.

Beachten Sie, dass letzteres von den Werten bei abhängt$0^-$von y, x und ihren Ableitungen. Aus einer Schaltungs-POV beziehen sich diese Werte auf die Anfangsbedingungen der Schaltung: Ströme in Induktivitäten und Spannungen über Kappen.

Nehmen Sie als einfaches Beispiel eine RC-Schaltung wie die folgende:

aus dem KVL und dem Ohmschen Gesetz haben wir:

$v(t) = R i(t) + v_c(t)$

aber die vi-Beziehung für den Kondensator sagt uns das

$i(t) = C \dfrac{dv_c(t)}{dt}$

Damit haben wir für die Schaltung folgende Differentialgleichung:

$v(t) = R C \dfrac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t)$

Wo$v$ist die Erregung (x) und$v_c$ist die unbekannte Antwort (y). Wenn wir nun die L-Transformation auf beide Seiten anwenden, erhalten wir:

$V(s) = R C \left[ sV_c(s) - v_c(0^-) \right] + V_c(s) = (R C s + 1 ) V_c(s) - R C v_c(0-)$

was nach einfachen Passagen wird:

$V_c(s) = \dfrac{1}{R C s + 1} V(s) + \dfrac{RC v_c(0^-)}{R C s + 1}$

Wenn das System stabil ist, kann jederzeit Y(s) = H(s)X(s) verwendet werden. Das heißt, wenn Sie die Übertragungsfunktion des zugrunde liegenden Systems kennen, können Sie für eine gegebene Eingabe eine simulierte Ausgabe des Systems berechnen. In dem von Ihnen verwendeten Beispiel erhalten Sie auf diese Weise die stationäre Reaktion, weil die Größe der Übertragungsfunktion H(s) als Verstärkung des Systems definiert ist.