Welche Bedeutung hat die Standardform der Übertragungsfunktionen 1. und 2. Ordnung?

Was ist die physikalische Bedeutung von „erster“ und „zweiter Ordnung“? ... Wie erkenne ich, ob ein System erster oder zweiter Ordnung ist?

Ein System 1. Ordnung hat ein Energiespeicherelement und benötigt nur eine Anfangsbedingung, um die eindeutige Lösung der maßgeblichen Differentialgleichung anzugeben. RC- und RL-Kreise sind Systeme 1. Ordnung, da sie jeweils ein Energiespeicherelement, einen Kondensator und eine Induktivität haben.

Ein System 2. Ordnung hat zwei Energiespeicherelemente und benötigt zwei Anfangsbedingungen, um die eindeutige Lösung zu spezifizieren. Eine RLC-Schaltung ist ein System 2. Ordnung, da sie einen Kondensator und eine Induktivität enthält

Woher kommen die Gleichungen (1) und (4)?

Betrachten Sie den homogenen Fall für die Gleichung 1. Ordnung:

$$\tau \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Die Lösung hat bekanntlich die Form

$$y_c(t) = y_c(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

was dem Parameter physikalische Bedeutung verleiht$\tau$- Es ist die dem System zugeordnete Zeitkonstante . Je größer die Zeitkonstante$\tau$, desto länger brauchen Transienten zum Abklingen.

Für das System 2. Ordnung lautet die homogene Gleichung

$$\tau^2\frac{d^2y}{dt^2} + 2\tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Angenommen, die Lösungen sind von der Form$e^{st}$, die zugehörige charakteristische Gleichung lautet somit

$$\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1 = 0$$

die zwei Lösungen hat

$$s = \frac{-\zeta \pm\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}$$

was der Dämpfungskonstante eine physikalische Bedeutung verleiht $\zeta$dem System zugeordnet.

Die Übergangslösungen sind, wenn$\zeta > 1$(überdämpft), der Form

$$y_c(t) = Ae^{\frac{-\zeta +\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t} + Be^{\frac{-\zeta -\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t}$$

wann$\zeta = 1$(kritisch gedämpft) sind die Lösungen von der Form

$$y_c(t) = \left(A + Bt\right)e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}$$

und wann$\zeta < 1$(unterdämpft) sind die Lösungen von der Form

$$y_c(t) = e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}\left(A\cos \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) + B\sin \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) \right)$$

Wenn ein System erster Ordnung gegeben ist, warum wird manchmal Gleichung (2) und manchmal Gleichung (3) als Übertragungsfunktion für dieses System angegeben?

Unterschiedliche Disziplinen haben unterschiedliche Konventionen und Standardformen. Gleichung (2) sieht für mich wie der Standard der Steuerungstheorie aus, während Gleichung (3) wie der Standard der Signalverarbeitung aussieht .

Standardformen entwickeln sich, um den Anforderungen einer Disziplin gerecht zu werden. Wenn eine besonders einflussreiche Person oder Gruppe eine bestimmte Konvention entwickelt und verwendet, wird diese Konvention oft zum Standard. Es kann lehrreich sein, ältere Lehrbücher und Zeitschriften zu lesen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich Notation und Standardformen entwickeln.

1. Die Ordnung einer Übertragungsfunktion wird durch die höchste Ordnung des Nenners bestimmt. Diese Reihenfolge gibt die Anzahl der Pole an und bestimmt damit die Roll-Off-Charakteristik der Übertragungsfunktion (Betrag) sowie den Betrag der Phasenverschiebung bei steigenden Frequenzen.

2. Die Standardform ist sehr wichtig, da sie es ermöglicht, charakteristische Parameter durch Sichtprüfung und/oder einfache Berechnungen zu finden: Ordnung des Filters, Formel für Polfrequenz, Formel für Pol-Q. Diese Parameter sind die Entwurfseinträge zum Entwerfen eines Filters und können für alle klassischen Antworten in Filtertabellen gefunden werden.

3. Beide Formen der Gleichungen können natürlich verwendet werden. Die letzte Form ist jedoch bequemer, da Sie die Polfrequenz wn sofort erkennen können. Diese charakteristische Frequenz ist mit der Grenzfrequenz wc (die normalerweise gegeben ist) durch einen festen Faktor verbunden, der von der gewünschten Charakteristik abhängt (Beispiel 1: Butterworth 2. Ordnung, wc=wn; Beispiel 2: Chebyshev 2. Ordnung, 0,5dB Restwelligkeit , wp=1,2313*wc).

BEARBEITEN : Ich habe vergessen zu erwähnen, dass der Polqualitätsfaktor (Pol Q oder Qp) durch die Beziehung mit dem Dämpfungsfaktor ζ (wie in Ihren Formeln angegeben) zusammenhängt: ζ = 1 / (2 * Qp).

Zusammenfassung: Die letzte Form (Gl. 6) enthält die wichtigsten Tiefpassgrößen als Parameter (Ao, wp, Qp), die auch gemessen werden können (Bode-Diagramm für Betrag und Phase). In der Praxis wird diese Form mit der direkt aus der Schaltung abgeleiteten Form verglichen – und so sieht man, wie alle Parameter von den jeweiligen Schaltungsteilen abhängen.