Beweis, dass zeitartige und raumartige Raumzeitintervalle über Inertialsysteme hinweg unveränderlich sind

Ich versuche, die Rechtfertigung für die Verwendung der Minkowski-Metrik zu verstehen. Es ist mir klar, dass dies die natürliche Wahl der Metrik ist, da Raumzeit-Trennungen mit bezeichnet werden ( − C 2 Δ T 2 + Δ X 2 + Δ j 2 + Δ z 2 ) sind über Trägheitsbezugsrahmen unveränderlich. Der nächste Schritt besteht also darin, zu zeigen, dass das Raumzeitintervall unveränderlich ist.

Es ist auch klar, dass alles lichtähnliche Raumzeitintervalle sind 0 und damit unveränderlich. Mit anderen Worten, wenn Δ S 2 = 0 in einem Frame, dann ist es 0 auch in allen anderen IRFs.

Aber es ist mir nicht klar, wie ich zeigen soll, dass raumartige und zeitartige Raumzeitintervalle ebenfalls invariant sind ( ohne Lorentz-Transformation anzunehmen ). Ich habe mir angesehen Warum liefert der Minkowski-Raum eine genaue Beschreibung der flachen Raumzeit? und Physikalische Gründe für die metrische Definition in der speziellen Relativitätstheorie , und so gut die Antworten auf diese Fragen auch sind, ich habe immer noch nicht gefunden, wonach ich gesucht habe.

Würde mich über eine Anleitung freuen, wie man beweisen kann, dass raumartige und zeitartige Raumzeitintervalle unveränderlich sein müssen. [Ich habe auch versucht, danach zu googeln, aber kein Glück]

Antworten (2)

Ich finde, du verlangst hier zu viel. Sie sagen, dass Sie das demonstrieren wollen − C 2 Δ T 2 + Δ X 2 + Δ j 2 + Δ z 2 ist invariant, aber Invarianz ist eine bedeutungslose Bezeichnung, es sei denn, Sie geben an, welche Arten von Transformationen Sie in Betracht ziehen.

Aus mathematischer Sicht wäre nichts Widersprüchliches daran, die Gruppe der Symmetrietransformationen zwischen Referenzrahmen als zu nehmen S Ö ( 4 ) , und die Raumzeit-Metrik zu nehmen diag ⁡ ( 1 , 1 , 1 , 1 ) . Um zu erkennen, dass dies kein gutes Modell für das Universum ist, in dem wir leben, brauchen wir physischen Input .

Diese Eingabe erfolgt in Form der Lorentz-Symmetrie. Sie erwähnen in einem Kommentar

Aber ich suche nach einem anderen Ansatz, bei dem wir den LT nicht verwenden. Soweit ich weiß, sollte es möglich sein. Unter Verwendung von Isotropie, Homogenität und dem Relativitätsprinzip können wir schlussfolgern, dass die Transformation zwischen IRFs Galileisch oder Lorentz ist. Um schließlich zu dem Schluss zu kommen, dass es sich tatsächlich um Lorentz handelt, muss ich zeigen, dass die Metrik Minkowski ist, und dafür muss ich die Intervallinvarianz zeigen.

Eine Galilei-Transformation bewahrt das lichtähnliche Intervall nicht allgemein, was bedeutet, dass ein Lichtstrahl, der sich in einem Rahmen bewegt, eine andere Geschwindigkeit hat als ein Lichtstrahl, der sich in einem anderen bewegt. Damit man eine invariante Geschwindigkeit hat, muss man die Lorentz-Transformationen wählen, bei denen die invariante Geschwindigkeit als freier Parameter eingeht.

Dies ist der physische Input, der benötigt wird. Da wir beobachten, dass sich Licht mit einer unveränderlichen Geschwindigkeit ausbreitet, können wir sofort schlussfolgern, (a) dass es überhaupt eine unveränderliche Geschwindigkeit gibt , sodass die eigentlichen Symmetrietransformationen Lorentz sind, und (b) dass der Parameter, der in Lorentz erscheint Verwandlung ist C . Von hier aus muss die Metrik unter Lorentz-Transformationen kovariant sein, was Sie zur Minkowski-Metrik führt.

Vielen Dank! Das ist eine gute Erklärung, auch wenn ich völlig anderer Meinung bin, dass ich "zu viel verlange". Physikalischer Input war genau das, wonach ich suchte, und ich weiß, dass es nicht möglich ist, Invarianz im streng mathematischen Sinne zu beweisen (ohne zuerst eine Transformation anzunehmen). Ich denke, meine Formulierung in der Frage war nicht klar - ich entschuldige mich, wenn dies nicht der Fall war. Ich denke, es ist möglich, die Invarianz mit Hilfe physikalischer Überlegungen zu beweisen, auch wenn keine explizite Transformation angegeben ist.
@ShirishKulhari Wenn ich sage "zu viel verlangen", meine ich, dass Sie anscheinend nach einer mathematischen Begründung für die Minkowski-Metrik gefragt haben, ohne über die Lorentz-Transformationen zu sprechen . Es gibt keine solche Rechtfertigung, weil das Universum im Prinzip eine andere Struktur haben könnte - es wird nur beobachtet, dass dies nicht der Fall ist.
Ah ich sehe. Mein Fehler, weil ich Ihren Kommentar falsch interpretiert habe. Eine mathematische Begründung für die Minkowski-Metrik ist sicherlich nicht möglich, ohne vorher LT zu kennen. Aber vielleicht könnte ich argumentieren, dass es eine physikalische Rechtfertigung gibt. Wenn ich weiß, dass die Größe, die wir als Raumzeitintervall bezeichnen, unveränderlich ist, dann ist es sinnvoll , die Minkowski-Metrik zu wählen (auch wenn dies alles andere als eine strenge Rechtfertigung ist). Eine andere Metrik zu wählen, wäre albern. Selbst angesichts der LT gehen wir immer noch implizit davon aus, dass alle IRFs durch dieselbe Metrik gekennzeichnet sind, und wir kommen zu Minkowski, da ... (Fortsetzung)
(Fortsetzung) ... das ist die Metrik, die von LTs beibehalten wird. Nichts hindert mich daran, eine willkürliche Metrik zu wählen, die sich von Frame zu Frame ändert, aber das wäre geradezu albern.

Um eine solche Berechnung durchzuführen, müssen Sie sich überlegen, wie Sie die räumlichen und zeitlichen Koordinaten von einem Bezugssystem auf das andere beziehen können. Die Antwort ist hier . Denken Sie nach, bevor Sie auf den Link klicken.

Danke! Ich kenne also die Lorentz-Transformation. Es lässt sich aus dem Postulat ableiten, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, und ich kann die Invarianz des Intervalls mit dem LT zeigen. Das ist ein Ansatz. Aber ich suche nach einem anderen Ansatz, bei dem wir den LT nicht verwenden. Soweit ich weiß, sollte es möglich sein. Unter Verwendung von Isotropie, Homogenität und dem Relativitätsprinzip können wir schlussfolgern, dass die Transformation zwischen IRFs Galileisch oder Lorentz ist. Um schließlich zu dem Schluss zu kommen, dass es sich tatsächlich um Lorentz handelt, muss ich zeigen, dass die Metrik Minkowski ist, und dafür muss ich die Intervallinvarianz zeigen.
Okay. Also indem man ein Raumzeitintervall in die Form schreibt Δ S 2 = − C 2 Δ T 2 + Δ X 2 + Δ j 2 + Δ z 2 Sie gehen bereits davon aus, dass die Minkowski-Metrik verwendet wird, in der das Linienelement einen Wert von hat D S = − C D T + D X + D j + D z .
Mein Fehler, ich hätte deutlicher sein sollen. Ich habe die Frage entsprechend bearbeitet.
Fairer Punkt - ich verstehe, wie das irreführend sein kann. Nennen wir es an dieser Stelle also nicht „Raumzeitintervall“. Sagen wir einfach, ich will das beweisen − C 2 Δ T 2 + Δ X 2 + Δ j 2 + Δ z 2 ist unveränderlich. Und nehmen wir an, ich behaupte nicht, dass es sich um irgendeine Art von "Entfernung" handelt - es ist nur eine Menge.
Ich verstehe immer noch nicht, warum Sie so etwas auf andere Weise beweisen wollen, denn wie Sie sagten, entstehen LTs natürlich, wenn Sie das Relativitätsprinzip annehmen. Vielleicht verstehe ich deine Frage immer noch nicht so gut. Aber um auf Ihren ersten Kommentar zurückzukommen, wenn Sie das Relativitätsprinzip annehmen, gibt es keine andere Transformation als LT, die vorgenommen werden muss, da Galileos Transformation Geschwindigkeiten ohne Berücksichtigung einer absoluten Obergrenze hinzufügt.
Das ist ein guter Punkt, aber beachten Sie, dass die Annahme, dass es eine Obergrenze für die Geschwindigkeit gibt, und die Annahme einer unveränderlichen Lichtgeschwindigkeit unterschiedlich sind. Warum - weil ich neugierig bin, alternative Ansätze zu lernen - Dinge auf andere Weise zu beweisen und mich nicht auf einen einzigen richtigen festzulegen und weiterzumachen :) Ich hoffe, ich klinge nicht unhöflich
Tut mir leid für meinen schlechten Ausdruck. Ich meinte natürlich Einsteins Postulat, wonach die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem unveränderlich ist. Ich verstehe, dass Sie sich nicht an nur eine Erklärung halten möchten, aber meiner Meinung nach gibt es keine Möglichkeit zu beweisen, was Sie zu beweisen versuchen, ohne entweder LT oder die Metrik anzunehmen.
Beweis, dass zeitartige und raumartige Raumzeitintervalle über Inertialsysteme hinweg unveränderlich sind
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