Beseitigung einer Diskrepanz bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus der Längenkontraktion

Nein, in der speziellen Relativitätstheorie spielt es keine Rolle, welches Bezugssystem als ruhend angenommen wird. In diesem Fall sagt Feynman nie ausdrücklich, dass P in Joes Referenzrahmen ruht, aber es wird aus der Argumentation impliziert. Das schließt er richtig$x' = \dfrac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$ist der Abstand, den Moe zu P zur Zeit misst$t$, indem Sie ein Lineal verwenden, dessen Länge von Joes Referenzrahmen aus gesehen verkürzt ist.

Wenn wir die Geschichte ändern und sagen, dass P stattdessen in Moes Referenzrahmen ruht, dann offensichtlich$x = x_0 + ut$, Wo$x_0$ist Joes Abstand zu P zur Zeit$t=0$, Und$x'$ist jetzt nicht mehr zeitabhängig:$x' = \dfrac{x_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$oder alternativ$x = x'\sqrt{1-u^2/c^2}+ut$, die zur inversen Lorenz-Transformation wird, sobald Sie die Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigen und ausdrücken$t$bezüglich$t'$Und$x'$. Das Ergebnis ist:$x = \dfrac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$.

Es spielt keine Rolle, welches Frame als Ruheframe betrachtet wird. Bei der Längenkontraktion möchten Sie jedoch feststellen, welcher Rahmen relativ zu dem Objekt, dessen Länge Sie messen, in Ruhe ist. Hier ist ein einfaches Beispiel, das (natürlich) zum gleichen Ergebnis wie Feynmann und Cuspy Code führt und einen möglichen Fehler veranschaulicht, den Sie bei Ihrer versuchten Überarbeitung von Feynmanns Beispiel machen könnten.

Nehmen wir zwei Referenzrahmen in der Standardausrichtung an und lassen einen Rahmen an einem fahrenden Waggon ($S^{'}$) und die andere auf den Boden neben den Gleisen ($S$). Ein Beobachter drin$S^{'}$definiert eine Dauer$\Delta t^{'}$B. die Zeit, die ein am Boden befestigter Laternenpfahl benötigt, um sich von der Vorderseite des Autos nach hinten zu bewegen. Ein Beobachter drin$K$definiert eine Dauer$\Delta t$B. die Zeit, die das Auto benötigt, um von vorne nach hinten am Laternenpfahl vorbeizufahren.

Jeder Beobachter berechnet eine Geschwindigkeit: der Beobachter in$S^{'}$die Geschwindigkeit$\Delta x^{'}/\Delta t{'}$des Laternenpfahls relativ zu seinem Rahmen und den Betrachter hinein$S$die Geschwindigkeit$\Delta x/\Delta t$des Autos relativ zu seinem Rahmen. Diese Geschwindigkeiten sind notwendigerweise gleich:

$$\frac{\Delta x^{'}}{\Delta t^{'}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \implies \Delta x^{'} = \Delta x \frac{\Delta t^{'}}{\Delta t}.$$

$\Delta t^{'}$Und$\Delta t$sind durch die Zeitdilatationsformel verbunden, aber wir müssen identifizieren, welcher Rahmen sich relativ zum Waggon bewegt, da dies das Objekt ist, dessen Länge zusammengezogen wird. Ein Fehler wird hier gesetzt$\gamma$an der falschen Stelle.

Weil$S$ist der 'bewegliche Rahmen' (der Waggon ruht in$S^{'}$), muss die Zeitdilatationsformel geschrieben werden als

$$\Delta t^{'} = \gamma \Delta t,$$

das sagt die sich bewegenden Uhren in der$S$Rahmen laufen um den Faktor langsam$\gamma$wie von der gesehen$S^{'}$rahmen. Ersetzen Sie dies in den Ausdruck for$\Delta x^{'}$zu bekommen

$$\Delta x^{'} = \gamma \Delta x \implies \Delta x = \frac{\Delta x^{'}}{\gamma}.$$

Die Länge des Waggons wird um einen Faktor verkürzt$\gamma$im$S$rahmen. Ein Beobachter drin$S^{'}$behauptet auch (zu Recht), eine Längenkontraktion zu beobachten. Sie behauptet, dass der Zähler in der steckt$S$Rahmen sind so gekürzt, dass mehr dieser Meterstäbe zwischen das Heck und die Vorderseite des Autos passen als Meterstäbe in ihren Rahmen. Aber natürlich, wenn sie daraus folgert, dass ein Beobachter reinkommt$S$behauptet eine zu lange Länge für das Auto, dann macht sie einen Fehler. Ich vermute, dass Sie im Wesentlichen den gleichen Fehler machen, wenn Sie versuchen, Feynmans Beispiel zu überarbeiten, aber ich bin mir nicht sicher. Vielleicht kannst du das näher ausführen?

Beachten Sie von hier aus, dass sich die Vorderseite des Zuges weiterhin mit hoher Geschwindigkeit die Gleise hinunterbewegt$v$im$S$Rahmen, so ist es$x-$Koordinate in diesem Rahmen ist gegeben durch

$$x = vt + \frac{x^{'}}{\gamma}.$$

Umlagerung ergibt die Lorentz-Transformation für$x$Zu$x^{'}$:

$$x^{'} = \gamma(x - vt).$$