Was ist falsch daran, die Längenkontraktion auf diese Weise aus dem Raumzeitintervall abzuleiten?

Mein Verständnis der Raumzeitmetrik ist wie folgt: Wenn Alice und Bob Zeuge von zwei Lichtblitzen werden E 1 Und E 2 , und Alice und Bob messen den Abstand zwischen der Position der beiden Lichtblitze als Δ X A Und Δ X B und sie messen auch die Zeit, die zwischen dem Bezeugen der beiden Ereignisse verstrichen ist Δ T A Und Δ T B bzw. dann

( Δ X B ) 2 − C 2 ( Δ T B ) 2 = ( Δ X A ) 2 − C 2 ( Δ T A ) 2 .

Ich konnte die Zeitdilatation nur aus dieser Gleichung wie folgt ableiten:

C 2 ( Δ T B ) 2 − ( Δ X B ) 2 = C 2 ( Δ T A ) 2 − ( Δ X A ) 2
C 2 ( Δ T B ) 2 ( 1 − ( Δ X B ) 2 C 2 ( Δ T B ) 2 ) = C 2 ( Δ T A ) 2 ( 1 − ( Δ X A ) 2 C 2 Δ T A 2 )
( Δ T B ) 2 ( 1 − ( Δ X B ) 2 C 2 ( Δ T B ) 2 ) = ( Δ T A ) 2 ( 1 − ( Δ X A ) 2 C 2 Δ T A 2 )
( Δ T B ) 2 ( 1 − v B 2 C 2 ) = ( Δ T A ) 2 ( 1 − v A 2 C 2 )

Δ T B 1 − v B 2 C 2 = Δ T A 1 − v A 2 C 2

Vermietung γ B = 1 1 − v B 2 C 2

finden wir daher

Δ T B = Δ T A γ B γ A

Für den Fall, dass sich die Ereignisse an derselben Position in Alices Referenzrahmen befinden, γ A wird 1, und diese Gleichung ist die bekannte Zeitdilatationsgleichung.

Hier beginnt die eigentliche Frage: Wenn ich versuche, dieselbe Argumentation für die Längenkontraktion auszunutzen, stoße ich auf Probleme.

Nehmen wir an, Alice beobachtet diese Blitze an beiden Enden eines Messstabs, der in Bezug auf Alice in Ruhe ist, beide gleichzeitig in ihrem Bezugssystem. Dann Δ T A = 0 , und wir bekommen

( Δ X B ) 2 − C 2 ( Δ T B ) 2 = ( Δ X A ) 2

Wir nehmen nun an, dass sich Alice (und damit der Messstab) mit einer Geschwindigkeit ungleich 0 bewegen v B wenn von Bob beobachtet. Jetzt machen wir die gleiche Art von Manipulationen wie im vorherigen Fall, indem wir a ausklammern Δ X B 2

( Δ X B ) 2 ( 1 − C 2 v B 2 ) = ( Δ X A ) 2

Sofort sehe ich, dass da etwas schief gelaufen ist ( 1 − C 2 v B 2 ) muss negativ sein (nach dem, was ich über Physik gehört habe, v B 2 < C 2 ), also einer der Δ X s muss imaginär sein. In der Tat, wenn wir fortfahren

( Δ X B ) 2 = ( Δ X A ) 2 1 ( 1 − C 2 v B 2 )
( Δ X B ) 2 = ( Δ X A ) 2 v B 2 ( v B 2 − C 2 )
( Δ X B ) 2 = ( Δ X A ) 2 v B 2 − C 2 ( − v B 2 C 2 + 1 )
( Δ X B ) 2 = − ( Δ X A ) 2 v B 2 C 2 γ 2

Aber das impliziert das

Δ X B = ich Δ X A v B C γ

Das heißt, wir haben einen imaginären Wert für die beobachtete Länge des Messstabs von Bob erhalten! Das macht keinen Sinn!

Ich weiß, dass es andere Ableitungen der Längenkontraktion gibt, aber ich bin mir einfach nicht sicher, warum diese nicht funktioniert. Ich bin die Argumentation mehrmals durchgegangen, aber ich kann anscheinend keinen Fehler darin finden. Warum sollte dies speziell für die Zeitdilatation funktionieren, aber nicht für die Längenkontraktion? Was habe ich falsch gemacht?

Für die Längenkontraktion müssen sowohl dta als auch dtb null sein, was möglich ist, weil die Intervalle nicht gleich sind, wie man leicht in einem Minkowski-Diagramm sehen kann. Die Messungen erfolgen gleichzeitig in beiden Bezugssystemen.
@Wolphramjonny hat eine Weile gedauert, bis ich mich darum gekümmert habe, aber jetzt verstehe ich, was du sagst. Sie meinen, dass dtb in diesem Fall die Zeit zwischen den beiden Blitzen ist, aber nicht die Zeit, die der Messstab benötigt, um sich von Punkt a nach Punkt b zu bewegen. Das heißt, diese Argumentation geht implizit davon aus, dass die Blitze gleichzeitig in Bobs Rahmen sind. Ist das richtig?
Das Blinken wird in einem der beiden Referenzrahmen nicht synchron sein. Was Sie tun, um die Länge zu messen, ist, in Ihrer Achse die Positionen sowohl der Vorderseite als auch des Endes des Stocks gleichzeitig in Ihrem Bezugssystem zu markieren. niemand muss sich bewegen. also dtb ist null, vergiss die blitze. dta ist auch null. aber man kann die intervalle dsa und dsb nicht gleichsetzen, weil sie nicht gleich sind, die messungen der vorder- und rückseite des sticks entsprechen nicht denselben zwei ereignissen in den beiden bezugssystemen.
@Wolphramjonny Wenn Sie dies in eine Antwort aufnehmen, werde ich es akzeptieren
Es ist nicht notwendig, ich bin froh, dass es Ihnen geholfen hat.

Antworten (2)

Ihre Analyse findet die räumliche Trennung von zwei gleichzeitigen Ereignissen in Alices Rahmen in Bobs Rahmen, dh von zwei Ereignissen in Alices Rahmen, die zu unterschiedlichen Zeiten in Bobs Rahmen stattfinden .

Was Sie stattdessen tun müssen, ist, die räumliche Trennung der beiden Enden in Alices Rahmen mit ihrer Trennung zu zwei gleichzeitigen Zeitpunkten in Bobs Rahmen zu vergleichen. Der Weg, dies zu tun, besteht darin, die Weltlinien der beiden Enden des Objekts in Alices Rahmen zu betrachten (sie werden parallele Linien in Richtung ihrer Zeitachse sein) und ihre räumliche Trennung entlang einer Linie konstanter Zeit in Bobs Rahmen zu finden - das gibt Ihnen die Länge des Objekts in Bobs Bild.

Der Grund für die Längenkontraktion ist, dass Bob aus Alices Sicht die Positionen der beiden Enden des Objekts zu zwei verschiedenen Zeitpunkten notiert - insbesondere misst er die Position der Vorderkante des Objekts früher als die Position der Hinterkante , was der Hinterkante etwas Zeit gibt, sich in der Zwischenzeit nach vorne zu bewegen, wodurch sich ein verkürztes Ergebnis für die Länge ergibt.

Sie können sehen, wie es passiert, wenn Sie zwei Personen in einiger Entfernung auf einem Bahnsteig betrachten, die versuchen, die Länge eines vorbeifahrenden Zuges zu messen. Sie beschließen, dies zu tun, indem einer von ihnen die Position der Vorderseite des vorbeifahrenden Zuges und der andere die Position der Rückseite notiert und dann die Entfernung entlang des Bahnsteigs zwischen den beiden Positionen misst, die sie sich notiert haben. Das funktioniert natürlich nur, wenn sie die Position der beiden Enden genau zur gleichen Zeit notieren - wenn sie die Positionen zu zwei verschiedenen Zeiten notieren, hat sich der Zug zwischen den beiden Messungen bewegt und sie erhalten das falsche Ergebnis. Genau das passiert bei der Längenkontraktion.

Wenn Alice und Bob zwei Lichtblitze sehen E 1 Und E 2 [...]

Anscheinend betrachteten sie zwei Trägheitssysteme, wobei Alice ein Mitglied von einem dieser beiden war und Bob ein Mitglied des anderen;

und zwei Ereignisse (die wiederum beobachtbar oder "aufblitzend" sind), so dass ein (unbenanntes) Mitglied von Alices Rahmen und ein (unbenanntes) Mitglied von Bobs Rahmen (zufällig aneinander vorbei) an einem dieser Ereignisse teilnahmen, und ein anderes (obwohl in manchen Fällen nicht notwendigerweise verschieden von den oben genannten) (unbenannten) Mitgliedern von Alices Rahmen und ein weiteres (obwohl in einigen Fällen nicht notwendigerweise von den oben erwähnten) (unbenannten) Mitgliedern von Bobs Rahmen (in Zufall, aneinander vorbei) im anderen Ereignis; und weiter,

  • dass der Abstand zwischen diesen beiden identifizierten Mitgliedern von Alices Trägheitssystem als bezeichnet wird Δ X A (und dass diese beiden Glieder auch „die beiden Enden von Alices Messlatte “ genannt werden),

  • dass der Abstand zwischen diesen beiden identifizierten Mitgliedern von Bobs Trägheitssystem als bezeichnet wird Δ X B (und dass diese beiden Glieder auch „die beiden Enden von Bobs Messlatte “ genannt werden),

  • dass die Dauer eines der Enden von Alices „Messstab“ von dem Moment an, in dem er an einem der beiden erwähnten Ereignisse teilgenommen hat (nachdem er eines der Enden von Bobs „ Messstab“ getroffen und passiert hat ), bis zu seinem Zeitpunkt gleichzeitig mit Der Moment, in dem das andere Ende von Alices „Messstab“ an dem anderen Ereignis teilgenommen hat (das andere Ende von Bobs „Messstab“ getroffen und passiert hat ), wird als bezeichnet Δ T A , Und

  • dass die Dauer eines der Enden von Bobs „Messstab“ von dem Moment an, in dem er an einem der beiden erwähnten Ereignisse teilgenommen hat (nachdem er eines der Enden von Alices „ Messstab“ getroffen und passiert hat ), bis zu seinem Zeitpunkt gleichzeitig mit Der Moment, in dem das andere Ende von Bobs „Messstab“ an dem anderen Ereignis teilgenommen hat (das andere Ende von Alices „Messstab“ getroffen und passiert hat ), wird als bezeichnet Δ T B ,

Dann ( Δ X B ) 2 − C 2 ( Δ T B ) 2 = ( Δ X A ) 2 − C 2 ( Δ T A ) 2

Rechts; Wo C symbolisiert natürlich Signalfrontgeschwindigkeit. (Meine etwas ausführliche Erklärung aller Symbole in Ihrer Gleichung sollte betonen, dass es sich trotz des Anscheins um eine koordinatenfreie Aussage handelt.)

Nehmen wir an, Alice beobachtet diese Blitze an jedem Ende eines Messstabs, der in Bezug auf Alice in Ruhe ist, beide gleichzeitig in ihrem Bezugssystem.

Nennen wir (entsprechend) die beiden „Blitz“-Momente oder Anzeigen der beiden Enden von Alices „Messstab“ gleichzeitig zueinander (gemäß Einsteins Definition, wie dies gemessen werden sollte).

Dann Δ T A = 0 , und wir bekommen ( Δ X B ) 2 − C 2 ( Δ T B ) 2 = ( Δ X A ) 2 .

Richtig.

Wir nehmen nun an, dass sich Alice (und damit der Messstab) mit einer Geschwindigkeit ungleich 0 bewegen v B wenn von Bob beobachtet.

Bob und alle relevanten Mitglieder von Bobs Trägheitsrahmen messen

  • dass Alice und alle Mitglieder von Alices Trägheitssystem sich gleichförmig bewegen bzgl. Bobs Trägheitsrahmen und

  • dass sie sich alle mit gleicher (und notwendigerweise konstanter) Nicht-Null-Geschwindigkeit bewegen v B .

(Auch Alice und die Mitglieder von Alices Rahmen können umgekehrt die konstante Geschwindigkeit bestimmen v A von Bob und allen Mitgliedern von Bobs Inertialsystem; und sie finden das heraus v A = v B .)

Jetzt [...] Faktorisieren ( Δ X B ) 2

... Ja ...

[wir bekommen] ( Δ X B ) 2 ( 1 − C 2 v B 2 ) = ( Δ X A ) 2

NEIN! -- v B ist sicherlich nicht als Verhältnis zwischen definiert ( Δ X B ) Und ( Δ T B ) !

(Außerdem sind im Allgemeinen die Werte dieser beiden unterschiedlich definierten Größen nicht gleich.)

Stattdessen mit Δ T A = 0 , lässt sich (durch andere, elementarere Argumente) ableiten, dass

( Δ X B ) 2 − C 2 ( Δ T B ) 2 = ( Δ X A ) 2 = ( Δ X B ) 2 ( 1 − v B 2 C 2 ) ,

alias "Längenkontraktion".

Was ist falsch daran, die Längenkontraktion auf diese Weise aus dem Raumzeitintervall abzuleiten?
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