Beweislogik mit Variablen und „für-alle“-Aussagen

Die bei Beweisen erlaubten Schlußfolgerungen laufen letztlich auf die sogenannten Schlußregeln hinaus . Ihr gewünschtes Beispiel ist von der Form

$$\forall G\colon \text{isGroup}(G)\to \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ also würde man versuchen zu beweisen $$\text{isGroup}(G)\to \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ und versuchen Sie dazu, rechts von links abzuleiten, dh $$\text{isGroup}(G)\vdash \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ und tun Sie dies dann in Bezug auf den "eigentlichen" Beweis. Die wesentlichen Details verbergen sich in der Notation. Das Prädikat „isGroup“ kann in Bezug auf „isSet“ und die Gruppenaxiome geschrieben werden. Aber was soll "isSet" überhaupt bedeuten? Wenn man in der Mengenlehre arbeitet, ist typischerweise „alles“ eine Menge und ein solches Prädikat macht keinen Sinn. Da muss man sich eher rechtfertigen was die Notation ist$\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\}$sogar bedeutet. (Oder man arbeitet auch mit Klassen, dann ist "isSet" irgendwie formalisiert und man hat vielleicht eine allgemeine Interpretation der Notation$\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\}$zumindest als Klasse). Die Begründung (zumindest in$\mathsf{ZFC}$) ist natürlich die

Axiomschema der Ersetzung: Wenn$A$ist eine Menge und$F$ein funktionales Prädikat, dann existiert eine Menge$B$so dass$y\in B\iff \exists x\in A\colon x=F(a)$.

Notation: Wir bezeichnen diese (pro Erweiterungsaxiom eindeutige) Menge als$F[A]$oder$\{\,F(x)\mid x\in A\,\}$

Wenn wir mit einem Beweis beginnen

$$\mathrm{For \ all \ groups} \ G, \ \mathrm{it \ holds \ that} \ \{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}$$ durch Schreiben $$\text{Let $G$ be a group}$$ wir deklarieren die Variable/den Platzhalter$G$eine beliebige Gruppe sein (dh ein beliebiges Mitglied der Menge aller Gruppen), so dass jede folgende Instanz von$G$entspricht der Definition einer Gruppe und hat ihre inhärenten Eigenschaften, die wir dann verwenden, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen $$\{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}.$$

Weil$G$nur eine willkürliche Gruppe war, hatten wir hinreichend allgemein argumentiert, und somit gilt das Ergebnis für jede Gruppe. Mit anderen Worten, wir haben das bewiesen

$$\mathrm{For \ all \ groups} \ G, \ \ \{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}.$$

(Die obige Schlußregel heißt Universelle Einführung.)

Mehr hier: https://math.stackexchange.com/a/4234854/21813

Zwei Erklärungselemente: Bedingter Beweis und universelle Verallgemeinerung.

---

• Die zu beweisende Aussage hat die Form:

$\forall x$WENN$G(x) \rightarrow P(x)$.

• Um eine Bedingungsaussage zu beweisen , nehmen Sie an, dass der Vordersatz wahr ist, und versuchen, den Nachsatz abzuleiten. Durch die Bedingungsbeweisregel läuft dies darauf hinaus zu zeigen, dass der Vordersatz den Folgesatz impliziert.

Nehmen wir zum Beispiel an, ich möchte beweisen:$A\rightarrow (B\rightarrow A)$.

Ich vermute erstmal$A$wahr ist, das heißt, ich versetze mich in die Situation, wo der Antezedens wahr ist (da ein Konditional nichts weiter aussagt als „falls … wahr ist, dann … ist auch wahr“ ).

Dann gehe ich unter dieser Hypothese davon aus, dass$B$ist wahr. Unter dieser zweiten Annahme leite ich ab$A$( seit$A$gilt immer noch in der hypothetischen Situation, in der ich mich befinde).

Daraus kann ich, immer noch unter meiner ursprünglichen Annahme, schließen$B$impliziert$A$. Und da ich dies abgeleitet habe, während ich das annehme$A$wahr ist, bedeutet dies, dass die Hypothese, dass$A$ist wahr impliziert die Bedingung$A \rightarrow B$. Das habe ich dann nicht hypothetisch, sondern kategorisch bewiesen$A \rightarrow (A \rightarrow B)$.

• Nun wird die Bedingungsaussage, die Sie beweisen wollen, allgemein quantifiziert. Um zu einer universellen Aussage zu gelangen, müssen Sie zunächst mit einem beliebigen Objekt arbeiten , und die Hypothese, unter der Sie arbeiten werden, wird sich auf dieses beliebige Objekt beziehen. Rufen Sie dieses Objekt auf$g$( oder welchen Buchstaben auch immer) und stellen Sie die folgende Hypothese auf:$G(g)$,$g$ist eine Gruppe (was darauf hinausläuft, dass$g$ist eine Menge mit solchen und solchen Eigenschaften ...). Leiten Sie unter dieser Hypothese den Satz her$P(g)$, und verwenden Sie dann den bedingten Beweis, um kategorisch zu behaupten:

WENN$G(g)$DANN$P(g)$.

• An dieser Stelle gilt Ihre Schlussfolgerung nur als Objekt$g$. Aber seit$g$ist willkürlich und da Sie keine bestimmte Eigenschaft von verwendet haben$g$außer dass$g$eine Gruppe ist, funktionieren Ihre Ableitungen für alle$g$was auch immer (sogar ein$g$das ist keine Gruppe, denn das würde den Antezedens falsch machen und daher den ganzen Bedingungssatz wahr*).

• Als Konsequenz dürfen Sie verallgemeinern (unter Verwendung der universellen Verallgemeinerung) und sagen: für alle$x$, wenn$x$ist eine Gruppe , dann ....

(*) Notiz . dies liegt an der Wahrheitstabelle des Operators "wenn ... dann".