Beziehung zwischen Kohomologie und dem BRST-Operator

Ghostly Lie-Algebra-Kohomologie

Lassen$\mathfrak{g}$sei unsere Lie-Algebra und$V_\rho$ein Repräsentationsraum mit Repräsentationskarte$\rho : \mathfrak{g} \to \mathrm{End}(V_\rho)$.$V_\rho$ist, durch die Wirkung durch die Repräsentation, natürlich a$\mathfrak{g}$-Modul (Menschen fehlt die Ringstruktur in$\mathfrak{g}$- einfach in die universelle Hüllalgebra einbetten ). Wir definieren den zugehörigen Chevally-Eilenberg-Komplex als den Komplex von$V_\rho$-bewertete Differentialformen auf$\mathfrak{g}$:

$$\dots \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p-1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p+1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to}$$

deren Kohomologie wir die Kohomologie der Lie -Algebra nennen$\mathfrak{g}$mit Koeffizienten in$V_\rho$. Jetzt ist der Algebraiker beunruhigt: In unserem Komplex gibt es ein hässliches Differential, das den Spaß verdirbt! Lassen Sie uns einen Operatorausdruck dafür erstellen:

Denken Sie daran, auf$\Lambda^p \mathfrak{g}^*$, haben wir zwei natürliche Operationen:

Kontraktion , das ist

$$\iota : \Lambda^1 \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \Lambda^0 \mathfrak{g}^*, (\omega,G) \mapsto \omega(G)$$

auf alle ausgedehnt$\Lambda^p\mathfrak{g}^\ast$indem man es einstellt$\iota(\omega \wedge \xi,G) = (\omega\wedge\xi)(G) \wedge (-1)^{\mathrm{deg}(\omega)}\omega\wedge(\xi(G))$und das Keilprodukt , das ist

$$\wedge : \Lambda^p \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}^* \to \Lambda^{p+1} \mathfrak{g}^*, (\omega,k)\mapsto k\wedge\omega$$

und diese definieren zwei Operatoren$\iota_G = \iota(-,G)$und$\wedge_k = k \wedge -$handeln$p$-Formen.

Wählen Sie nun eine beliebige kanonisch duale Basis von$\mathfrak{g}$bzw.$\mathfrak{g}^*$, nennen wir sie$T_a$bzw.$S^a$, und schreibe

$$\mathrm{d} = \wedge_{S^a}\rho(T_a) - \frac{1}{2}\wedge_{S^a}\wedge_{S^b}\iota_{[T_a,T_b]}$$

Verwenden Sie es auf der Grundlage von Elementen von$\Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho$, können wir durch direkte Rechnung zeigen, dass dies tatsächlich das Differential aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex ist und somit ein Operatorausdruck für das Differential. Definieren$c^a := \wedge_{S^a}$als das Gespenst und$b_a := \iota_{T_a}$da der Antigeist ergibt, dass das Chevalley-Eilenberg-Differential tatsächlich der BRST-Operator ist

$$Q = \mathrm{d} = c^a\rho(T_a) - \frac{1}{2}f^c_{ab} c^a c^b b_c$$

Was macht$Q$in Physik rechnen?

Klassischerweise wenden wir diesen Ansatz auf symplektische Mannigfaltigkeiten/Phasenräume an$\mathcal{M}$die eine (symplektomorphe) Gruppenwirkung durch eine Lie-Gruppe besitzen$G$, und wir konstruieren die äquivariante Momentenkarte

$$\mu : \mathcal{M} \to \mathfrak{g}^*$$

definiert als äquivariant unter der koadjungierten Wirkung von$G$an$\mathfrak{g}^*$und erfüllend$\mathrm{d}(\mu(\dot{})(g)) = \omega(\rho(g),\dot{})$mit$\omega$als symplektische Form. Wenn die Aktion von$G$eine Eichsymmetrie darstellt, möchten wir die koisotrope Reduktion erhalten $\tilde{\mathcal{M}} := \mathcal{M}/ G$keine Redundanzen enthält. Definieren Sie die Untermannigfaltigkeit$M_0 := \mu^{-1}(0)$und beobachten Sie, dass die Poisson-Algebra der Funktionen auf$\tilde{\mathcal{M}}$erfüllt

$$C^\infty(\tilde{\mathcal{M}}) = H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$$

denn die nullte Kohomologie einer Lie-Algebra mit Koeffizienten in einem Modul besteht aus genau den Elementen des Moduls, die unter der Gruppenwirkung und der natürlichen Projektion invariant sind$\pi : \mathcal{M}_0 \to \tilde{\mathcal{M}}$bietet einen Pullback von Funktionen auf die Reduktion auf$\mathcal{M}_0$. Wir wollen hier nicht die Herleitung des Koszul-Komplexes wiederholen , es genügt, das zu sagen$H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$kann durch Betrachtung des Komplexes berechnet werden

$$\dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to 0$$

und Rechnen$H^0 = C^\infty(\mathcal{M}_0)$und$H^p = 0$andernfalls führt dies zur projektiven Auflösung

$$\dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}_0) \to 0$$

was, da das Tensorprodukt exakt belassen wird, eine projektive Auflösung für ergibt$\Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes C^\infty(\mathcal{M}_0)$

Dies ergibt einen Bikomplex$C^{p,q} := \Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes \Lambda^q \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M})$, woraus ein gewöhnlicher abgestufter Komplex entsteht$\mathcal{C}^p$kann gebaut werden von$\mathcal{C}^p := \bigoplus_{r + s = p}C^{r,s}$, das ist der berüchtigte BRST-Komplex und kann geschrieben werden als$\mathcal{C}^p = \Lambda^p(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*) \otimes C^\infty(\mathcal{M})$

Mit etwas algebraischer Magie, die die Poisson-Superalgebra -Struktur dieses Komplexes einbezieht, kann man die Schritte zur Ableitung einer expliziten Form für das Differential aus der gespenstischen Kohomologie für Lie-Algebren nachvollziehen und das hier erhalten:

$$\mathrm{d} = \{Q,\dot{}\}$$

mit$Q \in \mathcal{C}^1$der klassische BRST-Operator, und diesmal sind die Geister und Antighosts die Bilder der Generatoren von$\mathfrak{g}$und$\mathfrak{g}^*$unter der natürlichen Einbettung dieser in$\Lambda(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*$).

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Eine längere, aber immer noch schnelle und sehr lesbare Diskussion dazu findet sich in Josê Figueroa-O'Farrills Vorlesungsunterlagen zu "BRST Cohomology" .