Cayley-Klein-Parameter

Ich weiß nichts über Cayley-Klein-Parameter , tut mir leid, aber der Rest Ihrer Frage ist einfach.

Wir beginnen zu bemerken, dass es immer möglich ist, dies anzunehmen${\bf C}$entlang geleitet wird$z$, nur unseren Referenzrahmen geeignet fixieren. Damit wir schreiben können${\bf C}= c{\bf e}_z$weiß$c>0$(ansonsten ist alles trivial und die Lösung ist${\bf m}(t)= {\bf m}_0$für$t\in [0,T]$, so dass$R(t)=I$Und$A=0$).

Mit dieser Wahl:

$${\bf e}_z \times {\bf m}= S {\bf e}_z$$

Wo

$$S= \begin{bmatrix} 0& 1 & 0\\ -1& 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$$

Deine Gleichung lautet also:

$$\frac{d\bf m}{dt} = c S {\bf m}(t)\:$$

Mit dieser Gleichung und der Ableitung beider Seiten erhalten wir:

$$\frac{d^{2}\bf m}{dt^{2}} = c S \frac{d{\bf m}}{dt} = c^2 S^2 {\bf m}(t)\:$$

und so weiter mit allen Orders von Derivaten, schließlich erhalten Sie:

$$\frac{d^{n}\bf m}{dt^{n}} = c^nS^n {\bf m}(t)\:.$$

Für$t=0$wir haben insbesondere:

$$\frac{d^{n}\bf m}{dt^{n}}|_{t=0} = c^nS^n {\bf m}_0\:.$$

Wir haben alle Koeffizienten der Taylorentwicklung der Lösung gefunden, die also lautet:

$${\bf m}(t)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n}\bf m}{dt^{n}}|_{t=0} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(t c S)^n}{n!} {\bf m}_0 = e^{tcS} {\bf m}_0\:.$$

Dass diese Reihe absolut konvergiert, lässt sich genau wie bei der Reihe der Exponentialzahlen für komplexe Zahlen beweisen, indem man einfach den Betrag komplexer Zahlen durch die Norm von Matrizen ersetzt. Die Tatsache, dass die Reihe mit all ihren Ableitungen gleichmäßig konvergiert, ermöglicht es, das Symbol der Ableitung und das Symbol der Reihe zu vertauschen, was beweist, dass die Reihe die anfängliche Differentialgleichung löst. Die Eindeutigkeit der Lösung ist ein bekanntes allgemeines Ergebnis, das insbesondere für lineare Gleichungen als die betrachtete gültig ist.

Die Matrix$A$in Ihrer Frage ist daher durch gegeben$cS$.

Stellen wir das abschließend fest$e^{tcS} = R(t) \in SO(3)$, es handelt sich nämlich um eine Eindrehung$\mathbb R^3$.$3D$Drehungen sind real$3\times 3$Matrizen,$B$, verifizieren$BB^t=I$. Es würde also reichen, das zu beweisen

$$e^{tcS} (e^{tcS})^t = I\:.$$ Bei direkter Betrachtung sieht man das $S^t=-S$Und: $$(e^{tcS})^t= \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(t c S)^n}{n!}\right)^t= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(t c S^t)^{n}}{n!}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-t c S)^{n}}{n!} = e^{-tcS}\:.$$ Also wie gewünscht: $$e^{tcS} (e^{tcS})^t = e^{tcS} e^{-tcS} = e^{tcS-tcS} = e^{0S} = I\:,$$ wo ich die Tatsache verwendet habe, dass, wenn $A$Und $B$pendeln also, wobei genau derselbe Beweis wie für Zahlen ausgenutzt wird $e^Ae^B=e^{A+B}$.