Chern-Simons-Begriff für ein nicht-abelsches Eichmultiplett

In Gleichung (20.9) von Freedmann und Van Proeyens Supergravitation wird für den folgenden Chern-Simons-Term angegeben:

$$S_{\mathrm{CS}} = C_{IJK}\int A^I\wedge F^J \wedge F^K$$

unter einer nicht-abelschen Eichtransformation, dem symmetrischen Tensor, invariant zu sein$C_{IJK}$befriedigen muss${f_{I(J}}^MC_{KL)M} = 0$. Diese Bedingung zu finden ist Gegenstand von Aufgabe 20.2, aber ich schaffe es nicht. Variieren Sie diesen Term, führen Sie eine partielle Integration durch und nutzen Sie die Symmetrie des Tensors$C_{IJK}$, Ich finde:

$$\delta S_{\mathrm{CS}} = 3C_{IJK}\int \delta A^I \wedge F^J \wedge F^K$$

Invarianz unter der nicht-abelschen Eichtransformation erfordern:

$$\delta A^I = d\theta^I + \theta^MA^L{f_{LM}}^I$$

liefert dann die Bedingung${f_{LM}}^IC_{IJK} = 0$, die wie die erwähnte aussieht, bis hin zur Symmetrisierung einiger Indizes.

Ich wollte wissen, woher diese Symmetrisierung kommt.