Könnten Sie bitte gute Texte zur algebraischen Geometrie (kurz über den komplexen Zahlen und nicht zu beliebigen Feldern) und zur komplexen Geometrie einschließlich Kahler-Mannigfaltigkeiten empfehlen, die einem theoretischen Physiker als informelle Einführung in das Thema dienen könnten (unter Berücksichtigung der Anwendungen in der Physik , zB in der Stringtheorie)?
Was ich für einen Moment möchte, ist, mir ein informelles Bild des Themas zu machen, anstatt mich in den blutigen Details der Beweise zu vergraben und in immer höheren Abstraktionsschichten der kommutativen Algebra und Kategorientheorie zu verlieren. Die Texte, die ich bisher gefunden habe, sind alle ziemlich trocken und vermissen diesen informellen Zug fast vollständig, und alle richten sich an reine Mathematiker, wenn es also so etwas wie "Algebraische Geometrie für Physiker" und "Kahler-Mannigfaltigkeiten für Physiker" (von Natürlich hätten sie wahrscheinlich unterschiedliche Titel :)), ich würde mich sehr über entsprechende Hinweise freuen.
"Principles of Algebraic Geometry" (Wiley) von Griffiths und Harris ist für Ihre Zwecke am besten geeignet (lesen Sie nur die Teile zur Kahler-Geometrie). Die Abschnitte über algebraische Geometrie in "Mirror Symmetry" (Clay/AMS) sind im Wesentlichen eine Crib Notes-Version dieses Papiers und einige der klassischen CY- und speziellen Geometriepapiere, auf die oben Bezug genommen wurde.
Was Sie beim Hineingehen beachten sollten, ist Folgendes:
Kahler-Mannigfaltigkeiten sind komplexe Mannigfaltigkeiten mit einem hermiteschen inneren Produkt auf Tangentenvektoren, deren Metrik (lokal) durch eine einzelne Funktion bestimmt ist. Es ist die Geometrie, in der die Metrik und die komplexe Struktur "sehr gut miteinander auskommen". Dies vereinfacht viele Berechnungen und fügt neue Symmetrien hinzu. Deshalb wissen wir so viel über sie.
Bei allgemeinen Anwendungen in der Physik bin ich mir nicht sicher, aber wenn ich von algebraischer Geometrie höre, denke ich sofort an die Stringtheorie. Und wenn ich von Kähler Krümmern höre, fällt es mir schwer, nicht an Calabi-Yaus zu denken :-)
Wenn Sie also nichts gegen diese Art von Anwendungen haben, könnten Sie einen Artikel von Brian Greene nützlich finden: String Theory on Calabi-Yau Manifolds . Es enthält auch allgemeine Vorträge über Differentialgeometrie und Stringtheorie. Aber vor allem finden Sie dort die Grundlagen der Kähler- und Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sowie viele Anwendungen wie Spiegelsymmetrie und Untersuchung von Modulräumen.
Ein Text, der mir sofort in den Sinn kommt, ist „Vorlesungen über komplexe Geometrie“ von Philip Candelas, eine leicht zugängliche Einführung, die die Grundlagen abdeckt. Ich denke, es ist in irgendeinem Verfahren in Triest oder so versteckt.
Obwohl es sich nicht besonders an Physiker richtet, könnten Sie einen Blick auf An Invitation to Algebraic Geometry von Smith, Kahanpää, Kekäläinen und Traves werfen. Es ist sehr kurz und vermeidet viele Formalitäten und Beweise. Stattdessen bietet es eine Vogelperspektive und es gelingt ihm gut, einige der Grundlagen zu vermitteln.
Eine neue und populärere Ausstellung direkt vom Fields-Medaillengewinner Shing -Tung Yau: The shape
of inner space ://plus.maths.org/content/node/5388 Eine Vorschau finden Sie hier: http://books.google.de/books?id=M40Ytp8Os_gC&lpg=PP1&ots=3dHRt8v3KI&dq=The%20shape%20of%20inner%20space&hl=de&pg =PP1#v=onepage&q&f=false Hier finden Sie die Webseite: http://www.shapeofinnerspace.com/
Spiegelsymmetrie, insbesondere die ersten beiden Kapitel, geben eine kurze Einführung in die algebrische Geometrie. URL:http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01.pdf
Eine gute Quelle, die mir mein Studienberater empfohlen hat, sind die Vorlesungsunterlagen von Candelas on Complex Geometry. Sie sind mit Blick auf die Stringtheorie geschrieben und decken viele Grundlagen ab. Ich bin mir nicht sicher, ob sie online verfügbar sind. Griffiths and Harris ist sehr gut, aber wahrscheinlich nicht als einzige Quelle für das Selbststudium geeignet. Nur um eine Vorstellung davon zu bekommen, welche Ideen in der Stringtheorie vor 25 Jahren gebraucht wurden, könnte ein Blick in die Kapitel 12, 14, 15, 16 im zweiten Band von Green, Schwarz, Witten hilfreich sein. Besonders 14 und 15 dürften interessant für dich sein, auch wenn du noch keinen Kurs in Stringtheorie belegt hast.
Inzwischen gibt es natürlich viele andere Anwendungen von Ideen aus der algebraischen Geometrie auf das Studium der Stringtheorie, die über die hinausgehen, die normalerweise in Lehrbüchern zu finden sind. Zum Beispiel Modellbau in -Theorie erfordert unter anderem das Studium von Singularitäten elliptischer Fibrationen und die ungefähre Dynamik bestimmter Branen wird durch Variationen der Hodge-Struktur bestimmt. Um tatsächlich interessante Beispiele zu finden, ist die Kenntnis torischer Sorten hilfreich. Die meisten dieser Themen werden in Einführungstexten eigentlich nicht behandelt.
Etwas algebraische Geometrie mit dem Hauptzweck, D-Branes im Zusammenhang mit Spiegelsymmetrie zu verstehen, wird in Paul Aspinwalls 'D-Branes on Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten' ( http://arxiv.org/abs/hep-th/0403166 ) besprochen. .
Ich habe selbst noch nicht angefangen, es gründlich zu lesen, aber es scheint Physikern zugänglich zu sein, zumindest denen mit dem grundlegenden mathematischen Hintergrund für die Stringtheorie.
Ich glaube, die Kategorientheorie ist notwendig, um die algebraische Geometrie zu verstehen, und eine sehr grundlegende Einführung in die Kategorientheorie mit dem Ziel zu verstehen, wie topologische Quantenfeldtheorien (TQFTs), ihre Observablen und ihre Randbedingungen Kategorien bilden, finden Sie in Ketan Vyas 'Dissertation. Themen der topologischen und holomorphen Quantenfeldtheorie“ ( http://thesis.library.caltech.edu/5894/ ). Es sollte für Personen, die mit TQFTs vertraut sind, leicht lesbar sein.
Medizinstudent
Selene Rouley