Darstellung positiver ganzer Zahlen durch binäre quadratische Formen

Dies ist eine Folgefrage zu einer gestrigen Frage zur Darstellung ganzer Zahlen durch binäre quadratische Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. OEIS A031363 listet die positiven ganzen Zahlen des Formulars auf X 2 + X j − j 2 die sich als die gleichen herausstellen wie die der Form 5 X 2 − j 2 . Die gestrige Frage war, wie man zeigt, dass die beiden Sätze gleich sind, aber ich merke, dass auf der OEIS-Seite unter "Formel:

Besteht genau aus Zahlen, in denen Primzahlen == 2 oder 3 mod 5 mit geraden Exponenten vorkommen.

Ich habe mich gefragt, was es braucht, um dies zu beweisen, insbesondere, ob es mit elementaren Methoden gezeigt werden kann, da ich überhaupt keine algebraische Zahlentheorie kenne.

Ich denke, es ist wahrscheinlich viel einfacher zu beweisen, dass Zahlen, die nicht in dieser Form vorliegen, nicht dargestellt werden können, als das Gegenteil zu beweisen, also fange ich damit an.

Für P = 2 es sagt, nein N ≡ 2 ( Mod 4 ) kann so dargestellt werden, und es ist trivial, das zu überprüfen 5 X 2 − j 2 kann diese Form nicht haben, da die einzigen Quadrate ( Mod 4 ) Sind 0  Und  1.

Für einen Generalangriff denke ich darüber nach, das zu zeigen N ist genau dann darstellbar, wenn jeder ihrer Primfaktoren darstellbar ist. Wenn dies zutrifft, würde dies das Problem auf die Darstellbarkeit von Primzahlen reduzieren. Ich habe ein gewisses Vertrauen in den „wenn“-Teil (zumindest weiß ich, dass die Summe von zwei Quadraten mal die Summe von zwei Quadraten wieder die Summe von zwei Quadraten ist), aber ich habe überhaupt kein Gefühl für den „nur wenn“-Teil. Seit k 2 N ist genau dann darstellbar, wenn N darstellbar ist (aus der Form 5 X 2 − j 2 ) , Und 1 ist, dass wir Kräfte nicht berücksichtigen müssen.

Das ist nichts, was ich für die Schule oder Arbeit brauche. Ich bin Rentner und beschäftige mich manchmal mit Mathe zur Erholung; Ich möchte wissen, ob dies ein geeignetes Problem für mich ist, an dem ich arbeiten kann, dh eines, das eine vernünftige Chance auf Erfolg oder zumindest Fortschritt bietet. Ich verlange keinen Beweis; Ich möchte nur eine Vorstellung vom Schwierigkeitsgrad des Problems haben.

Hmmm. Sie müssen sich mit dem Legendre-Symbol ziemlich vertraut machen. Alles weitere folgt aus Klasse Nummer eins. Werfen Sie einen Blick auf math.stackexchange.com/questions/1132187/… Wenn Ihnen Conways Methode gefällt, gibt es ein nettes neues Buch von Weissman bookstore.ams.org/mbk-105
Viele der Zutaten befinden sich in Cox, Primes of the Form X 2 + N j 2 . Die Dinge, die meistens kurz erwähnt werden, sind ungerade mittlere Koeffizienten und unbestimmte Formen. Vieles von dem unbestimmten Zeug kann wegen der Klasse Nummer eins ignoriert werden, aber trotzdem..
@WillJagy Wenn Sie "Klasse Nummer eins" sagen, meinen Sie das Q ( 5 ) ist eine PID, richtig?
Ich denke, ich werde eine Antwort posten. Was ich wirklich meine, ist, dass jede binäre quadratische Form der Diskriminante 5 Ist S L 2 Z entspricht der Form mit Koeffizienten ⟨ 1 , 1 , − 1 ⟩ . So viel können Sie zum Beispiel aus Dickson, Introduction to the Theory of Numbers (1929), lernen, das als billiger Nachdruck erhältlich ist.

Antworten (2)

All diese Fragen kann Gauß' Theorie der quadratischen Formen beantworten. Die Form

X 2 + X j + j 2
ist aber einfach, es hat Diskriminanz D = 5 . Alle Formen der Diskriminierung 5 äquivalent sind (über lineare Transformation mit Diskriminante 1 ). Die Bedingung für eine Primzahl N durch eine Form der Diskriminante dargestellt werden 5 ist das
X 2 ≡ 5 ( Mod 4 N )
lösbar sein, also alle Primzahlen P Teilen N , wir haben

( 5 P ) = + 1

Und durch quadratische Reziprozität,

( 5 P ) = ( P 5 )
also müssen wir das haben

P ≡ 1 , 4 ( Mod 5 )

Dies ergibt die dargestellten Zahlen (primitiv, das heißt rel prime X , j ) durch irgendeine Form von Diskriminante 5 , aber sie sind alle gleichwertig, also für die erste Form. Natürlich kannst du immer mit einem Quadrat multiplizieren.

Die zweite Form hat Diskriminante D = 20 , in diesem Fall gibt es zwei nicht äquivalente Formen,

2 X 2 + 2 X j − 2 j 2
Und

X 2 + 4 X j − j 2 ∼ 5 X 2 − j 2
jetzt ist die erste Form nur doppelt so groß wie die erste Form und die Koeffizienten sind nicht rel. prime, also können wir es rabattieren. Hier wird die darzustellende Bedingung durch die zweite Form sein
X 2 ≡ 20 ( Mod 4 N )

Und da 4 ist ein perfektes Quadrat, zu dem dies äquivalent ist

X 2 ≡ 5 ( Mod N )
und so erhalten wir genau die gleiche Antwort wie im ersten Fall, was wir erwartet hatten.

Die Formen haben unterschiedliche Diskriminanten, stellen aber die gleichen ganzen Zahlen dar, wie in den Antworten auf die gestrige Frage gezeigt wurde, daher verstehe ich den Punkt des letzten Absatzes nicht.
Oh, ok, wenn Sie davon ausgehen wollen, dass sie dieselben Zahlen darstellen, dann sind Sie fertig. Ich sage nur, dass ich im Moment die Berechnung nach dem zweiten Formular nicht durchgeführt habe.
Ich habe eine Low-Tech-Version. Bei unbestimmten Formen muss er sich sicher sein, wie man eine Gauß-Lagrange-Reduktion durchführt. Meine Lieblingsversion ist Binary Quadratic Forms von Buell. Auch einige frühe Bücher von Leonard Eugene Dickson.
Ich habe bearbeitet, um eine Diskussion der zweiten Form aufzunehmen.

Vermuten ( 5 | P ) = 1 für Prime P > 10. Wir können lösen

T 2 ≡ 5 ( Mod P ) .
Ggf. durch Umschalten auf P − T , wir können das arrangieren T ist seltsam, in diesem Fall haben wir tatsächlich gelöst
T 2 ≡ 5 ( Mod 4 P ) ,
oder
T 2 = 5 + 4 P w ,
T 2 − 4 P w = 5.
Das bedeutet, dass
⟨ P , T , w ⟩
sind die geordneten Koeffizienten einer binären quadratischen Form der Diskriminante 5. Durch Ungleichungen wissen wir, dass diese Form ist S L 2 Z gleichwertig ⟨ 1 , 1 , − 1 ⟩ . Das heißt, es gibt eine ganzzahlige Matrix mit Determinante 1 so dass
( A C B D ) ( 2 P T T 2 w ) ( A B C D ) = ( 2 1 1 − 2 )
Das bedeutet auch, bei allen ganzen Zahlen,
( D − C − B A ) ( 2 1 1 − 2 ) ( D − B − C A ) = ( 2 P T T 2 w )
Bedeutung
D 2 + D ( − C ) − C 2 = P

Hier ein Beispiel mit P = 241 , Wo 103 2 ≡ 5 ( Mod 241 ) 

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle  241  103 11

  0  form            241         103          11  delta      4
  1  form             11         -15           5  delta     -2
  2  form              5          -5           1  delta     -2
  3  form              1           1          -1


           2          -3
          -9          14

To Return  
          14           3
           9           2

0  form   1 1 -1   delta  -1     ambiguous  
1  form   -1 1 1   delta  1     ambiguous            -1 composed with form zero  
2  form   1 1 -1


  form   1 x^2  + 1 x y  -1 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc 5 dSqrt 2  M_Ratio  4
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-1  -1
-1  -2
=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$

Die Matrix mit dem Namen „To Return“ sagt uns das

14 2 + 14 ⋅ 9 − 9 2 = 196 + 126 − 81 = 241

Danke. Ich muss das sorgfältig durcharbeiten, aber es sieht sehr nachvollziehbar aus.
@saulspatz Ich empfehle Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations von Duncan A. Buell. Das obige Computerprogramm wurde basierend auf Buells Buch geschrieben. Alle praktischen Aspekte, die für das Programm benötigt werden, befinden sich auf den Seiten 21-26, die Theorie ist teilweise woanders
Danke noch einmal. Wie ich sehe, haben sie das Buch in der Linda Hall Library, also schreibe ich vielleicht ein Programm wie Ihres und spiele damit herum.
Darstellung positiver ganzer Zahlen durch binäre quadratische Formen
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