Der Beweis einer Funktion g: R^2 → {(x,y):x^2+y^2 ≤ 1} ist injektiv. (Funktion in Kommentaren angegeben).

Dies ist die Funktion, die ich zu beweisen versuche, ist injektiv:

$$g(x,y)=\Bigg(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}+1},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+1}\Bigg).$$

Ich beweise, dass es injektiv ist, indem ich das Kontrapositiv beweise. Beginnend so:

$$g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2)$$ $$\Bigg(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}+1},\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}+1}\Bigg)=\Bigg(\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}+1},\frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}+1}\Bigg)$$

Ich dachte darüber nach, jede Komponente des geordneten Paares gleich zu setzen:

$$\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}+1}=\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}+1}$$ Und ebenso für die zweite Komponente. Aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll, wenn es um die eigentliche Algebra geht (außer, dass es irgendwie offensichtlich ist (?)), aber ja ... jede Hilfe, um dies tatsächlich rigoros zu beweisen, wird geschätzt!

Die ursprüngliche Frage, woher diese Funktion stammt, lautet: Betrachten Sie die Teilmenge$B=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}\subseteq \mathbb{R}^2$. Zeige, dass$\vert B\vert=\vert\mathbb{R}^2\vert$. Und mit dem Satz von Cantor-Bernstein-Schroeder habe ich eine injektive Funktion gefunden und bewiesen$B$Zu$\mathbb{R}^2$. Diese Funktion wurde von meinem Lehrbuch zum Beweis angegeben, ich hätte keine Ahnung, wie ich eine solche Funktion finden könnte, und jetzt stecke ich fest, um sie zu beweisen, ohne zu wissen, wie ich weiter vorgehen soll.